Контрольная работа по "Математике"

Вариант 9

1. Для определителя  найти дополнительный минор элемента [pic 1][pic 2]

Дополнительный минор  это определитель матрицы, получаемой из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца.[pic 3]

Дополнительным минором элемента  будет определитель:[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Ответ: дополнительный минор элемента  равен -4.[pic 7]

2. Найти матрицы [AB], [BA], [A-1], если  [pic 8][pic 9]

Произведением матриц  и размерами  и  соответственно является третья матрица [C] размером , причем  т.е. элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, можно найти как сумму произведений элементов матрицы , стоящих в i-ой строке, и элементов матрицы  стоящих в j-ом столбце.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Один из методов нахождения матрицы, обратной данной, является метод присоединенной матрицы. В соответствии с этим методом:

[pic 20]

матрица, присоединенная к матрице   каждый элемент которой определяется как алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы т.е. [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

Найдем определитель матрицы [pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы [pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Составим присоединенную матрицу:

[pic 38]

[pic 39]

Проверим результат умножением:

[pic 40]

[pic 41]

Матрица  называется обратной по отношению к матрице , если их произведение равно единичной матрице. Следовательно, пример выше решен верно.[pic 42][pic 43]

Ответ:  [pic 44]

[pic 45]

3. Проверить совместимость системы уравнений и в случае совместности решить ее по правилу Крамера

[pic 46]

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Условие совместности системы линейных уравнений формулируется в теореме Кронекера-Капелли: система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. Расширенной матрицей системы называют матрицу, получающуюся из матрицы системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов.

Найдем ранг матрицы:

[pic 47]

Ранг матрицы можно найти методом элементарных преобразований, для этого надо привести матрицу к трапециевидной. Ранг такой матрицы равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент.

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Расширенная матрицы:

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

 Значит исходная матрицы совместна и имеет единственное решение.[pic 55]

Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, решение системы может быть найдено по правилу Крамера:

[pic 56]

Здесь  определитель матрицы системы, определитель матрицы, получаемой из  заменой ого столбца на столбец правых частей.[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60]

Найдем определитель матрицы системы:

[pic 61]

[pic 62]

Найдем вспомогательные определители:

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Найдем решение системы по правилу Крамера:

[pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

Ответ: [pic 71]

4. Доказать, что векторы  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе: [pic 72][pic 73][pic 74]

Вычислим определитель, составленный из координат векторов [pic 75]

[pic 76]

 значит векторы  образуют базис.[pic 77][pic 78]

Если векторы  образуют базис, то любой вектор   можно единственным способом разложить по данному базису:  , где   – координаты вектора в базисе  .[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]