Контрольная работа по "Математике"

1. Докажите что аксиомы Пеано независимы

Натуральными числами назовем элементы множества N, в котором выделен элемент [pic 1]и определено отображение[pic 2]([pic 3]-следующий за[pic 4], удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. [pic 5](1 не следует ни за каким натуральным числом);

2. [pic 6](инъективность);

3. [pic 7].

Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами Пеано.

Для доказательства независимости каких-либо двух аксиом от третьей достаточно построить модель теории, в которой указанные две выполняются, а третья – нет.[pic 8]

Доказательство.

Построим модель теории, в которой

1) выполняются аксиомы 2 и 3, а 1-нет.

Очевидно, что 1 аксиома не выполняется, т.к. 1 следует за 1''.

2) выполняются аксиомы 1 и 3, а 2-нет.

Аксиома 2 не выполняется, т.к. [pic 9].

3) выполняются аксиомы 1 и 2, а 3-нет.[pic 10]

Аксиома 3 не выполняется, т.к.[pic 11]

[pic 12].

1. Докажите, что золотое сечение можно построить с помощью циркуля и линейки

Известно, что построить пропорцию золотого сечения можно с помощью линейки и циркуля.

[pic 13]

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине  АВ.  Полученная точка С соединяется линией с точкой А.  На отрезке АС откладывается отрезок, равный ВС, получается точка D. Отрезок AD переносится на  прямую  АВ. Полученная  при  этом  точка  Е  делит  отрезок  АВ  в  соотношении  золотой пропорции.

1. Докажите, что каждый треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником

Т.е. из  любого треугольника, разрезав его на конечное число многоугольников, можно составить прямоугольник такой же как треугольник площади)

[pic 14]

Пусть AB – наибольшая сторона треугольника ABC, CD – опущенная на нее высота. Точка D находится между A и B. Через середину CD – точку K – проведем прямую, параллельную AB и опустим на нее перпендикуляры AE и BF. Получим прямоугольник AEFB, который равносоставлен с треугольником ABC. Действительно, треугольники, помеченные цифрами 1 и 2, попарно равны между собой. Каждая из фигур ABC и AEFB состоит из заштрихованной трапеции и двух треугольников 1 и 2.

1. Докажите, что множества точек прямой и интервала (0, 1)равномощны

Функция [pic 15] взаимно однозначно отображает интервал (0, 1) на всю прямую, и остаётся доказать, что отрезок равномощен интервалу. Для этого рассмотрим последовательность [pic 16] всех рациональных чисел интервала (0, 1) и установим соответствие следующим образом:

[pic 17] [pic 18] [pic 19]

а все иррациональные числа отрезка [0,1] отобразим в самих себя. Тем самым, взаимно однозначное отображение между отрезком [0,1] и интервалом (0,1) установлено.

1. Докажите, что множество действительных чисел несчетно

[pic 20]

1. Докажите, что множество простых чисел бесконечно

[pic 21]

1. Докажите, что множество рациональных чисел счетно

[pic 22]

1. Докажите, что наибольший общий делитель двух целых чисел можно найти с помощью алгоритма Евклида

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел a и b (a и b – целые положительные числа, причем a больше или равно b) последовательно выполняется деление с остатком, которое дает ряд равенств вида
[pic 23]
Деление заканчивается, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).