Контрольная работа по "Математике"

Жалпы алғанда функция мынадай формуламен берілсін дейік:

f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn), мұндағы х-айнымалы,  ал  x1,x2,…xn –бір-біріне тең емес сандар.  x1,x2,…xn сандары функцияның нөлдері болып табылады. Анықталу облысы функцияның нөлдерімен бөлінетін аралықтардың әрқайсысындағы функцияның таңбасы сақталады, ал нөлден өткенде таңбасы өзгереді. Бұл қасиетті мына түрдегі теңсіздікті шешу үшін пайдаланады: [pic 1]

 мұндағы x1,x2,…xn бір-біріне тең емес сандар.

1. түріндегі  теңсіздікті интервалдар әдісімен шешу үшін:

1. f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn) функцияның нөлдерін координата түзуінде белгілеу керек.
2. Пайда болған аралықтарда функцияның таңбаларын белгілеу керек.
3. Таңбаға сәйкес функцияның қабылдайтын мәндерін таңдап алып, теңсіздіктің шешімдер жиынын жазу керек.

1-мысал.Мына теңсіздікті шешейік:

(x+6)(x+1)(x-4)[pic 2]

Берілген теңсіздік(1)  түріндегі теңсіздік болып табылады, өйткені сол жағындағы (x-x1)(x-x2)(x-x3) көбейтіндісі жазылған, мұндағы  x1=-6,  x2=-1, x3=4. Оны шешу үшін жоғарыда қарастырылған функцияның таңбасын ауыстыру қасиеттерін пайдалану қолайлы. Координаттық түзуде

f(x)=(x+6)(x+1)(x-4) функциясының нөлдерін белгілейік         (-) (-6;-1),(-1;4),аралықтарының әрқайсысынан осы функцияның таңбасын табамыз. Ол үшін осы аралықтардың біреуіндегі функция таңбасының қандай болатынын білу жеткілікті және таңбаларының алмасу  қасиетін пайдалана отырып, өзге аралықтардың барлығының таңбаларын анықтау керек. Бұл жағдайда оң жақ шеттегі     (4;)аралықтан бастаған қолайлы, өйткені онда  f(x)=(x+6)(x+1)(x-4) функциясының мәні оң болатыны анық. Бұл жайт функцияның барлық нөлдерінің оң жағында орналасқан х-тің мәндерінде  x+6, x+1, x-4 көбейткіштерінің әрқайсысының оң болатынымен түсіндіріледі.Таңбалардың алмасу қасиетін пайдаланып, координаттық түзу бойымен оңнан солға қарай жылжи отырып, берілген функцияның бұлардан басқа  әрбір аралықтағы таңбаларын анықтаймыз.[pic 3][pic 4][pic 5]

Жауабы(-) ∪ (-1;4) [pic 6]

Теңсіздіктерді шешудің қарастырылған тәсілін интервалдар әдісі деп атайды.

Бекіту.

2-мысал. х(0,5-х)(х+4)<0

3-мысал. (5х+1)(5-х)≥0

Егер f(x)<g(x) түрінде берілген теңсіздіктегі f(x) және g(x) рационал өрнектер болса, онда бұл теңсіздікті рационал теңсіздік деп атайды. Мысалы, [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]рационал теңсіздіктер болады.

Интервалдар әдісін бөлшек-рационал теңсіздіктерді шешуде де қолдануға болады. Осыған мысалдар келтірейік.

Онлайн калькулятор арқылы есептің шешімдерін тексеріп көру

4-мысал.

[pic 11].

f(x)= [pic 12]функциясын қарастырайық.

1.Анықталу облысын табамыз: [pic 13][pic 14]

2. функцияның нөлдерін табамыз:[pic 15]

3.Сан осінде белгілейміз:-1,2,4. Көбейткіштердің таңбаларын анықтап, оң мән қабылдайтын аралықты аламыз.

Жауабы:  (-1;2)[pic 16].

5-мысал.<0 теңсіздігін шешейік. [pic 17]

 бөлшегінің таңбасы (7-х)(х+2) көбейтіндісінің таңбасымен дәл келетіндіктен, берілген теңсіздік (7-х)(х+2)<0 теңсіздігімен мәндес болады.[pic 18]

(7-х)(х+2)<0 теңсіздігін (1) түрге келтіре отырып және интервалдар әдісін пайдалана отырып осы теңсіздіктердің шешімдерінің жиыны, яғни берілген <0 теңсіздігінің шешімдерінің жиыны (-∝,-2) мен (7,+∝) аралықтарының бірігуі болып табылатынын табамыз.[pic 19]