Контрольная работа по "Математике"

Содержание

Задача 1        3

Задача 2        4

Задача 3        5

Задача 4        6

Задача 5        8

Задача 6        10

Задача 7        11

Задача 8        12

Задача 9        14

Задача 10        16

Список использованной литературы        18

Задача 1

Найти указанные неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Решение:

а)

[pic 1]

[pic 2]

б)

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

в)

 [pic 6]

[pic 7]

Задача 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать эскиз.

y=x2-4x+4, y=x.

Решение:

Найдем координаты точек пересечения линий, решив систему уравнений:

y=x2-4x+4[pic 8]

 y=x

Решение системы – точки (1;1) и (4;4). Сделаем эскиз.

[pic 9]

На отрезке[1;4] выполняется неравенство x>x2-4x+4.

Воспользуемся формулой

[pic 10]

Полагаем  f2(x)=x; f1(x)=x2-4x+4; абсциссы точек пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:

[pic 11]

Ответ:[pic 12]

Задача 3

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать эскиз.

x–y2=0, x=0, y= –1.

Решение:

Решив систему уравнений

x–y2=0[pic 13]

 y= –-1,

получим  решение системы   x=1, y= –1, откуда  точка пересечения кривых В (1;–1) и (4;4). Сделаем эскиз.

[pic 14]

Искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций ОАВС и ОDBC:

[pic 15]

Ответ: [pic 16]

Задача 4

Найти общее решение  дифференциального уравнения первого порядка.

а) [pic 17]

б) [pic 18]

Решение:

а) [pic 19]– уравнение с разделяющимися переменными.

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]–общий интеграл найден.

[pic 23]

Итак, общее решение [pic 24], где С=const.

Ответ: [pic 25]- общее решение дифференциального уравнения.

б) [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]– имеем линейное уравнение.

Ищем решение уравнения в виде [pic 29]. Найдем производную этого произведения: [pic 30]. Подставим функцию y и ее производную [pic 31] в исходное уравнение:

[pic 32]

В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель «[pic 33]», и вынесем его за скобку:

[pic 34]

Подберем вспомогательную функцию «[pic 35]» так, чтобы обратилось в нуль выражение, стоящее в круглых скобках:

[pic 36]    (1)

Тогда уравнение примет вид:

[pic 37]         (2)

Оба последних уравнения решаются разделением переменных.

Сначала находим частное решение первого из них, то есть функцию [pic 38], а затем, подставив ее во второе уравнение, найдем функцию [pic 39].

Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции[pic 55]), берем лишь его частное решение, соответствующее [pic 56]. При решении второго уравнения для функции [pic 57] находим общее решение уравнения.