Контрольная работа по "Математике"
Автор: Lina1412 • Январь 5, 2023 • Контрольная работа • 1,068 Слов (5 Страниц) • 94 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РФ[pic 1]
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Тульский государственный университет»
Интернет-институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине:
«Математика»
на тему
«Вариант 8»
Выполнил:
Аюпов Ильнур
Проверил: Христич Д.В.
Тула – 2022
1. Определить тип и решить дифференциальное уравнение: [pic 2].
Решение:
Это дифференциальное уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, для этого выполним следующие преобразования:
[pic 3]
Вычислим теперь интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:
[pic 4]
[pic 5]
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид:
[pic 6]
Ответ: [pic 7]
2. Определить тип и решить дифференциальное уравнение: [pic 8].
Решение:
[pic 9]
Данное дифференциальное уравнение является однородным. С помощью подстановки [pic 10] ведём уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
[pic 11]
Вычислим теперь интегралы от выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения:
[pic 12]
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид
[pic 13]
Обратная замена: [pic 14] : [pic 15]
Ответ:[pic 16].
3. Определить тип и решить дифференциальное уравнение: [pic 17]
Решение:
Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т.к. выполняется критерий
[pic 18]
Выполнение критерия означает, что существует некая функция U(x; y), для которой
[pic 19]
Из первого равенства, интегрируя по x, находим [pic 20]
Из второго равенства, интегрируя по у, находим [pic 21]
Искомая функция [pic 22] (недостающие слагаемые из [pic 23]) = [pic 24].
Общий интеграл уравнения [pic 25].
Ответ: [pic 26]
4. Найти решение задачи Коши: [pic 27]
Решение:
Характеристическое уравнение:
[pic 28]
Тогда, общее решение уравнения: [pic 29]
[pic 30]
При [pic 31] составим систему:
[pic 32]
[pic 33]
Ответ: [pic 34]
5. Найти общее решение уравнения:[pic 35]
Решение:
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Его общее решение равно сумме частного решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Решим сначала однородное уравнение [pic 36]. Характеристическое уравнение имеет вид:
[pic 37]
Квадратное уравнение имеет два комплексных[ корня. Общее решение уравнения имеет вид [pic 38]
Найдём решение частного решение неоднородного уравнения. В соответствии с правой частью данного уравнения [pic 39] решение будем искать его в виде [pic 40].
[pic 41]
Подставим в исходное уравнение:
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Ответ: [pic 45]
6. Исследовать на сходимость ряд [pic 46].
Решение:
Для исследования этого ряда на сходимость воспользуемся признаком Даламбера: если существует [pic 47], то при [pic 48] ряд [pic 49]сходится, а при [pic 50]расходится.
...