Контрольная работа по "Математике"

Обозначения:

E-эпсилон

xn-x n-нное

э- принадлежит

1) Числовая функция

Пусть D э R – произвольное множество действительных чисел. Пусть каждому числу x э D поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число y э R. Тогда говорят, что на множестве D определена числовая функция f

2) Основные элементарные функции

Следующие функции называются основными элементарными:

1. y = C, где С — постоянная.

2.Степенная функция: y = x^a ,a э R,a не= 0.

3.Показательная функция: y = a^x , a > 0, a не= 1.

4.Логарифмическая функция: y=loga(x) , x > 0, a>0,a не=1

5.Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x .

6.Обратные тригонометрические функции:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x

Элементарной называется всякая функция, которая может быть

получена из основных элементарных функций с помощью конечного

числа арифметических операций и операций композиции

3)

Функция f (x). называется возрастающей (неубывающей,

убывающей, невозрастающей) на множестве A , если для любых

x1 э A, x2 э A, x1 < x2 выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

(соответственно f(x1)<=f(x2) , f(x1)>f(x2), f(x1)>=f(x2) ). Любая такая

функция называется монотонной на множестве A.

4)

Функция называется четной (нечетной), если ее область

определения симметрична относительно точки x = 0 и f (x) = f (-x)

(соответственно, f (x)=-f(-x)).

График четной функции симметричен относительно оси , график нечетной

функции симметричен относительно точки (0,0).

5)Комплексное число

Комплексным числом называется выражение вида x + iy , где

x э R и y э R — действительные числа, а i — символ, называемый мнимой

единицей, такой, что i^2 =-1.

Числа x э R и y э R называются действительной и мнимой частью

комплексного числа z = x + iy и обозначаются Re z и Imz соответственно

6)

Представление z = x + iy,x э R , y э R называется

алгебраической формой комплексного числа. Множество всех комплексных чисел

обозначается символом C.

7)Модуль и аргумент комплексного числа

Действительное число r = sqrt(x^2 + y^2) называется модулем

комплексного числа z = x + iy и обозначается символом |z|

Аргументом комплексного числа z = x + iy , z не=0, называется

угол ф , образованный радиус-вектором OM точки M (x, y) и осью X на

комплексной плоскости С.

При этом ф> 0, если ось X можно совместить с OM поворотом против часовой

стрелки и ф< 0 в противном случае.

Таким образом, r,ф ─ это полярные координаты точки M ( x, y).

Все аргументы z = x + iy различаются на 2Пn, n э Z и обозначаются символом

Arg z . Значение Arg z , удовлетворяющее условию 0 <= ф< 2П называется главным

значением аргумента и обозначается символом arg z . Иногда удобнее считать, что

arg z э(-П ,П).

Очевидно, величины x, y, r = |z| ,ф э Arg z связаны соотношениями:

x = r *cos ф, y = r* sin ф , r = sqrt(x^2 + y^2) , cos ф = x/ r , sin ф = y/ r .

8)

z = r*(cosф + i* sinф ), r = |z| , ф=arg z. (2)

Равенство (2) называется тригонометрической формой числа z .

Пусть ф э R — произвольное вещественное число. Введем обозначение

e^iф = cosФ + i sinф (формула Эйлера). (4)

С учетом обозначения (4) формула (2) может быть переписана в виде:

z = r*e^iф , r = |z| ,Ф= arg z. (5)

Равенство (5) называется показательной формой комплексного числа.

e - число Эйлера

9)

Многочленом n-й степени от комплексной переменной z э С

называется функция вида

Pn(z)=an*z^n+an-1*z^n-1+....+a1*z+a0,n э N (ДУГА ВНИЗ){0},an не=0(1)

Число n называется степенью многочлена. Комплексные числа а0 а1 , , , аn

называются коэффициентами многочлена, 0 n a  называется старшим

коэффициентом, слагаемое an*z^n называется старшим членом, a0 называется

свободным членом

10)(теорема Гаусса; основная теорема алгебры).