Контрольная работа по "Математике"

1. Дана задача линейного программирования:

[pic 1]

при ограничениях

[pic 2]

1). Решить задачу графическим методом.

2). Составить математическую модель симметричной двойственной задачи.

Решение.

1). Строим граничные прямые (по двум точкам) уравнения, которых получены путем замены знаков неравенств на знаки равенств в соответствующих ограничениях задачи:

1. [pic 3], [pic 4], [pic 5];
2. [pic 6], [pic 7], [pic 8];
3. [pic 9], [pic 10], [pic 11];
4. [pic 12], [pic 13], [pic 14].

В результате пересечения полуплоскостей решений и условия [pic 15] получим четырехугольник решений [pic 16].

Для определения максимума используем вектор нормали [pic 17], построенный за целевой функцией. Строим вектор нормали, начало которого в точке (0;0), конец – в точке (3;-1).

Проводим любую из линий уровня, перпендикулярную к вектору нормали, например [pic 18]. При параллельном переносе линии уровня в направлении вектора нормали, начиная сверху от области решений, находим самую ближнюю точку пересечения этой прямой и четырехугольника решений [pic 19]. Очевидно, что такой точкой есть В(0;5).

Вычислим минимальное значение целевой функции:

[pic 20].

Итак, [pic 21], [pic 22], [pic 23].

[pic 24]

2). Для задачи на минимум ограничения задачи линейного программирования должны быть либо в виде равенств, либо в виде "≥", поэтому умножим все ограничения на -1:

[pic 25]

[pic 26]

Количество переменных двойственной задачи равно количеству ограничений прямой задачи, а количество ограничений двойственной задачи равно количеству переменных прямой задачи, т.е. получим 2 ограничения и 4 переменных: [pic 27], [pic 28], [pic 29], [pic 30].

Целевая функция исходной задачи исследуется на минимум, поэтому целевая функция двойственной задачи исследуется на максимум. Коэффициенты целевой функции двойственной задачи совпадают со свободными членами системы ограничений прямой задачи, т.е. [pic 31].

Тогда, получим:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

2. Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.

В производстве пользующихся спросом двух изделий (A и B) принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает 7 ч, 2-й цех – 7 ч, 3-й цех – 8 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает 13 ч, 2-й цех – 8 ч, 3-й цех – 2 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более 363 ч, 2-й цех – не более 327 ч, 3-й цех – не более 429 ч.

От реализации одного изделия А фирма получает доход 6 рублей, изделия В – 4 рублей.

Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.

Решение.

Пусть [pic 35] – количество изделий А; [pic 36] – количество изделий В.

Учитывая временные затраты на изготовление одного изделия А и В, а также общие временные затраты каждого из цехов, получим такие ограничения:

[pic 37]

Так как количество не может принимать отрицательные значения, то [pic 38].

Учитывая доход от реализации каждого из изделий, получим целевую функцию: [pic 39].

Следовательно, получим такую математическую модель задачи:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42], [pic 43].

Решаем полученную задачу симплексным методом.

Вводим в базис три вспомогательные базисные переменные [pic 44] [pic 45], [pic 46] и записываем полученную каноническую модель задачи линейного программирования:

[pic 47];

[pic 48];

[pic 49], [pic 50], [pic 51], [pic 52], [pic 53].

Строим первоначальную симплексную таблицу.

Поскольку имеем задачу на максимум и в оценочной строке есть отрицательные числа, то начальное опорное решение можно улучшить. Для этого переходим к следующей симплексной таблице.