Контрольная работа по "Математике"

№ 6 ЕМТИХАН БИЛЕТІ

1.Математикалық модельдеу  көмегімен, ғылыми-техникалық есепті шешу, оның моделі болып табылатын, математикалық есепті шешуге тіреледі. Математикалық есептерді шешу үшін келесі негізгі әдістер топтары қолданылады: аналитикалық, графикалық және сандық.

Қазіргі уақытта күрделі математикалық есептерді шешудің негізгі құралы - есеп шешімін, сандармен  арифметикалық амалдарды орындауға әкеліп тірейтін, сандық әдістер болып табылады; сонымен бірге нәтижелер сандық мәндер түрінде алынады.

Сандық әдістердің аналитикалықтан  маңызды айырмашылықтарын айта кетелік. Біріншіден, сандық әдістер тек есептің жуық шешімін алуға мүмкіндік береді. Екіншіден, олар әдетте параметрлер мен бастапқы деректердің нақты мәндерімен есеп шешімін алуға мүмкіндік береді.

Екінші айырмашылықты мысалмен түсіндірейік. (0.1) формулалары бойынша (аналитикалық шешім бойынша) g параметрі мен v0, h0 бастапқы мәндері өзгерген кезде қозғалыс заңы қалай өзгеретінін талдауға болады. Егер (0.2), (0.3) модельде F(t) өрнегі қарапайым түрге ие болса (мысалы, F = const), онда (0.1) ұқсас аналитикалық шешім алуға болады. Бұл шешімді параметрлердің және бастапқы шарттардың өзгеруінен тәуелділік мағынасында зерттеу оңай. Егер F(t) өрнегі жеткілікті қиын болса, онда (0.2), (0.3) есепті тек сандық шешуге болады. Сонымен бірге шешімнің жалпы формуласының орнына есептеу нәтижесінде, g, m, v0, h0 нақты мәндері кезіндегі  t уақыт сәттерінің қандайда бір жиынтығы үшін v және h мәндері алынатын болады. Параметрлердің  және (немесе) басқа бастапқы шарттардың басқа мәндері кезінде шешім алу үшін жаңа есептеу жүргізу қажет. Шешімнің параметрлер мен бастапқы шарттардан тәуелділігін талдау үшін көптеген есептеулер қажет.

Осы кемшіліктерге қарамастан, сандық әдістер аналитикалық шешімі жоқ  күрделі есептерде қажет.

Көптеген сандық әдістері бұрыннан әзірленді, бірақ қолмен есептеулерде олар тек  жеңіл есептерді шешу үшін қолданылды. Компьютерлердің пайда болуымен сандық әдістердің қарқынды дамуы және оларды тәжірибеге енгізу кезеңі басталды. Қысқа уақыт ішінде көптеген заманауи есептерді шешу үшін қажет миллиардтаған, триллион және одан да көп операцияларды есептеуді тек есептеуіш машина орындай алады.

Сандық әдіс лайықты уақыт ішінде нәтиже алу мүмкіндігімен қатар, тағы бір маңызды сапаға ие болуы  - есептеу процесіне айтарлықтай қателіктер енгізбеуі тиіс.

2. Сандық интегралдау. Кіріспе ескертулер

Әрі қарай ұсыну үшін қажетті кейбір ұғымдарды еске түсірейік.

[а, b] кесіндісінде у = f(x) функциясы берілсін. х0,х1,..., хn  нүктелері көмегімен [а, b] кесіндісін n элементар кесінділерге [xi-1, xi] (i=1,2,…,n)    бөлеміз, сонымен қатар х0=a, хn=b. Осы кесінділердің әрқайсысында   ξi (xi-1≤ ξi ≤xi)    кезкелген нүктені таңдаймыз   және осы нүктедегі f(ξi)   функциясының мәнін ∆xi= xi - xi-1  элементар кесінді ұзындығына si көбейтіндісін табамыз:

si = f(ξi) ∆xi                                                        (19)