Контрольная работа по "Математике"

1.10. Найти область сходимости ряда Лорана

[pic 1]

Данный ряд Лорана содержит только четные степени бинома z-z₀. Следовательно:

[pic 2]

Найдем радиус сходимости главной части ряда Лорана:

[pic 3]

Ряд сходится при [pic 4]

        Найдем радиус сходимости правильной части ряда Лорана:

[pic 5]

Ряд сходится при [pic 6]

Так как R=r, ряд расходится.

2.10. Найти все разложения в ряд Лорана функции по степеням Z

[pic 7]

Функция определена и голоморфна на всей комплексной плоскости за исключением точек являющихся корнями уравнения:[pic 8]

 [pic 9]

Имеется три кольца с центром в точке z₁=0, в каждом из  которых функция  является голоморфной:[pic 10]

1.  ;[pic 11]
2. [pic 12]
3. [pic 13]

Разложим заданную функцию на элементарные дроби:

[pic 14]

В каждом кольце разложим эти дроби в ряды:

[pic 15]

[pic 16]

Ряд Лорана для кольца К₁:

[pic 17]

При  ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится. Поэтому, вместо (1) используем:[pic 18]

[pic 19]

Ряд Лорана для кольца К₂:

[pic 20]

При  ряд (3) сходится, а ряд (2) расходится. Поэтому, вместо (2) используем:[pic 21]

[pic 22]

Ряд Лорана для кольца К₃:

[pic 23]

Окончательно имеем следующие ряды Лорана:

 в [pic 24][pic 25]

 в [pic 26][pic 27]

 в [pic 28][pic 29]

3.10. Найти все разложения в ряд Лорана функции по степеням z-z₀

[pic 30]

Разложим функцию на элементарные дроби:

[pic 31]

Выполним замену переменной по формуле , где :[pic 32][pic 33]

[pic 34]

Функция определена и голоморфна на всей комплексной плоскости за исключением точек w₁=-2+i и w₂=-4+i.  [pic 35]

Имеется три кольца с центром в точке z₁=0, в каждом из  которых функция  является голоморфной:[pic 36]

1. ;[pic 37]
2. ;[pic 38]
3. ;[pic 39]

В каждом из колец разложим эти дроби в ряды: