Контрольная работа по "Математике"

Случайные события

Вариант 13

З а д а ч а 1. Бросают две игральные кости. Найти вероятность, что сумма выпавших очков не менее 8.

Р е ш е н и е.

Вероятность случайного события А вычисляют по формуле ,

где п – общее число элементарных исходов;

m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Событие А – сумма выпавших очков не менее 8.

Все n = 36 событий ω_ij равновозможные, несовместны и образуют полную группу, т. е. являются элементарными исходами. Перечислим их:

Событию А благоприятствуют т = 21 элементарных исходов:

ω_11,ω_12,ω_13,ω_14,ω_15,ω_16,ω_21,ω_22,ω_23,ω_24,ω_25,ω_31,ω_32,ω_33,ω_34,

ω_41,ω_42,ω_43,ω_51,ω_52,ω_61.

Вычисляем вероятность: P(A)=21/36=7/12.

Ответ: 7/12.

З а д а ч а 2. В первой урне находится k_1=13 красных шаров и c_1=7 синих, во второй k_2= 6 – красных шаров и c_2=4 синих. Из каждой урны извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных шаров окажется: а) два красных шара; б) один красный шар; в) хотя бы один красный шар; г) два синих шара.

Р е ш е н и е.

Введем следующие обозначения случайных событий:

А_1 – из первой урны извлечен красный шар;

(А_1 ) ̅– из первой урны извлечен синий шар;

А_2– из второй урны извлечен красный шар;

(А_2 ) ̅– из второй урны извлечен синий шар;

А – среди двух извлеченных шаров − два красных;

В – среди двух извлеченных шаров − один красный;

С – среди двух извлеченных шаров − хотя бы один красный;

D – среди двух извлеченных шаров − два синих.

Сначала вычислим вероятности событий А_1, (А_1 ) ̅, А_2, (А_2 ) ̅ . Мысленно про-

нумеруем шары в первой урне так, чтобы шары с номерами 1, 2, 3,…13 были

красными, а с номерами 14, 15, . . . , 20 – синими.

Пусть ω_i– случайное событие, состоящее в извлечении из первой урны

шара с номером i. Всего таких событий n_1=k_1+c_1=13+7=20. Эти события ω_iявляются элементарными исходами опыта по извлечению одного шара из первой урны, так как они равновозможные, несовместные и образуют полнуюгруппу. Из этих 20 исходов 13 исходов благоприятствуют

осуществлению события А_1. По классическому определению вероятности

получаем: P(А_1 )=13/(13+7)=13/20=0,65.

Аналогично: P(А_2 )=6/(6+4)=6/10=0,6.

События А_1 и (А_1 ) ̅– противоположные, тогда

P((А_1 ) ̅ )=1-P(А_1 )=1-0,65=0,35.

Аналогично: P((А_2 ) ̅ )=1-P(А_2 )=1-0,6=0,4.

Событие А есть произведение событий〖 А〗_1 и А_2. Так как они независимые, то вероятность события A:

P(A)= P(А_1 ∙ А_2 )=0,65∙0,6=0,39.

Аналогично:

P(D)= P((А_1 ) ̅ ∙ (А_2 ) ̅ )=0,35∙0,4=0,14.

Событие B можно представить в виде: B=А_1 ∙ (А_2 ) ̅+(А_1 ) ̅ ∙ А_2 .

Событие〖 А〗_1 ∙ (А_2 ) ̅ состоит в том, что из первой урны извлечен красный шар,

а