Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 08

9.        Решить систему линейных уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку найденного решения.

[pic 1]

Решение:

Составим и вычислим главный определитель системы путем его разложения по элементам первой строки:

[pic 2].

Поскольку определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители. Для этого столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной замени на столбец свободных членов:

[pic 3]

По формулам Крамера находим:

[pic 4], [pic 5], [pic 6].

Выполним проверку полученного решения. Для этого найденные значения подставим в исходную систему:

[pic 7]

Поскольку при подстановке все уравнения обратились в тождества, то решение найдено верно.

Ответ: [pic 8], [pic 9], [pic 10].

20.        Даны координаты вершин треугольника [pic 11] : [pic 12], [pic 13], [pic 14].

Найти:

1. длину стороны [pic 15];
2. уравнения сторон [pic 16] и [pic 17] и их угловые коэффициенты;
3. угол при вершине [pic 18] в радианах с точностью до двух знаков;
4. уравнение медианы [pic 19];
5. уравнение и дину высоты [pic 20];
6. сделать чертеж.

Решение:

1. Найдем длину стороны [pic 21]:

[pic 22].

1. Уравнение прямой [pic 23] напишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

[pic 24] или [pic 25] или [pic 26] или [pic 27];

[pic 28] – общее уравнение прямой [pic 29].

Запишем уравнение прямой [pic 30] с угловым коэффициентом: [pic 31]. Откуда [pic 32].

Аналогично:

[pic 33] или [pic 34] или [pic 35] или [pic 36];

[pic 37] – общее уравнение прямой [pic 38].

Запишем уравнение прямой [pic 39] с угловым коэффициентом: [pic 40]. Откуда [pic 41].

1. Искомый угол [pic 42] образован прямыми [pic 43] и [pic 44], угловые коэффициенты которых равны [pic 45], [pic 46].

Применим формулу нахождения тангенса угла между прямыми:

[pic 47].

Откуда [pic 48] рад.

1. Найдем координаты точки [pic 49] – середины стороны [pic 50]:

[pic 51].

Уравнение медианы [pic 52] напишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

[pic 53] или [pic 54] или [pic 55] или [pic 56];

[pic 57] – общее уравнение медианы [pic 58].

1. Высота [pic 59] перпендикулярна стороне [pic 60]. Чтобы найти угловой коэффициент высоты [pic 61], воспользуемся условием перпендикулярности прямых: [pic 62].

Напишем уравнение высоты [pic 63] как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении: [pic 64].

Получим: [pic 65] или [pic 66];

[pic 67] – уравнение высоты [pic 68].

Найдем длину высоты [pic 69] как расстояние от точки [pic 70] до прямой [pic 71]:

[pic 72].

1. Сделаем чертеж (рис. 1).

[pic 73][pic 74]

Рисунок 1

21.        Найти указанные пределы

1. [pic 75]

Ответ: [pic 76].

1. [pic 77].

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

[pic 78]

[pic 79]

Ответ: [pic 80].

1. [pic 81].

Ответ: [pic 82].

1. [pic 83] (по 1-му замечательному пределу).

Ответ: [pic 84].

32.        Найти производные и дифференциалы заданных функций:

1. [pic 85]

Решение:

Используя правила дифференцирования, находим:

[pic 86]

Запишем дифференциал заданной функции: [pic 87].