Контрольная работа по "Математике"

1. Найдите производные от данных функций.

а)  [pic 1],  [pic 2]

Решение

[pic 3]

[pic 4].

б)  [pic 5],  [pic 6]

Решение

[pic 7]

[pic 8].

в)  [pic 9],  [pic 10]

Решение

[pic 11]

[pic 12]

1. Дана функция [pic 13]. Найдите [pic 14]. Вычислите [pic 15].

Решение

[pic 16]

Вторая производная рана:

[pic 17]

[pic 18]

1. Дана функция [pic 19]. Найдите [pic 20] и [pic 21]. Вычислите [pic 22] и [pic 23].

Решение

Найдем производные от координатных функций:

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

1. Докажите, что функция [pic 28] удовлетворяет уравнению [pic 29].

Решение

Найдем частные производные:

[pic 30]     [pic 31].

Подставим полученные значения производных в заданное равенство:

[pic 32]

[pic 33]   [pic 34]. Что и требовалось доказать.

1. Дана функция [pic 35]. Найдите [pic 36]. Вычислите [pic 37].

Решение

[pic 38]

[pic 39].

1. Дана функция [pic 40]. Найдите: а) координаты вектора [pic 41] в точке [pic 42]; б)[pic 43] в точке М в направлении вектора [pic 44].

Решение

а) Найдем частные производные:

[pic 45]   [pic 46]

[pic 47]   [pic 48]

[pic 49]   [pic 50]

Имеем координаты:  [pic 51].

б)  Находим орт вектора а:

[pic 52]

Тогда [pic 53].

1. Найдите [pic 54], если [pic 55]. Вычислите [pic 56], если [pic 57].

Решение

Найдем необходимые производные:

[pic 58]   и  [pic 59].

Следовательно [pic 60].

[pic 61]   [pic 62], то есть  [pic 63]. При [pic 64] вторая производная равна: [pic 65].

1. Функция [pic 66] задана неявно [pic 67].

Вычислите: а) [pic 68] и б) [pic 69].

Решение

а) [pic 70]

[pic 71]  [pic 72]  [pic 73], тогда [pic 74].

б) [pic 75]

[pic 76]  [pic 77]  [pic 78], тогда [pic 79].

1. К графику функции  [pic 80] в точке с абсциссой [pic 81] проведена касательная. Найти ординату той точки касательной, абсцисса которой равна 11.

Решение

Угловой коэффициент касательной (он же и есть тангенс угла наклона касательной к оси ОХ) равен:

[pic 82].

При абсциссе [pic 83]:  [pic 84].

Значение ординаты в абсциссе [pic 85]: [pic 86].

Уравнение касательной, проходящей через  точку [pic 87]: [pic 88] Найдем коэффициент [pic 89], для этого подставим точку [pic 90]в полученное уравнение касательной:

[pic 91]   [pic 92].

Следовательно, уравнение касательной, проходящей через точку [pic 93]: [pic 94].

Подставим в полученное уравнение касательной значение абсциссы, равной 11 и найдем соответствующее значение ординаты.