Контрольная работа по "Математике"
Автор: Duman_735 • Февраль 7, 2022 • Контрольная работа • 2,087 Слов (9 Страниц) • 339 Просмотры
12-дәріс. Мүшелері оң сан қатарының жинақтылығының
жеткілікті белгілері
а) Бірінші салыстыру белгісі.
[pic 1] (1)
және
[pic 2] (2)
қатарлары берілсін және [pic 3] болсын.
Егер (2)-қатар жинақты болса, онда (1)-қатар да жинақты болады.
Егер (1)-қатар жинақсыз болса, онда (2)-қатар да жинақсыз болады.
1-мысал. [pic 4] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 5]яғни қажетті белгі орындалады.
Енді [pic 6] - шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған қатарды қарастырайық. Бұл қатар жинақты болады.
[pic 7]
теңсіздіктері орындалғандықтан, берілген қатар да жинақты болады;
ә) Екінші салыстыру белгісі. Егер [pic 8] ақырлы шегі бар болса, онда [pic 9] және [pic 10] қатарлары екеуі де бірдей жинақты немесе бірдей жинақсыз болады.
2-мысал. Жалпы мүшесі [pic 11] тең болатын қатардың жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. Берілген қатарды жалпы мүшесі [pic 12] болатын жинақты қатармен салыстырайық.
[pic 13]
Яғни ІІ салыстыру белгісі бойынша берілген қатар жинақты болады.
б) Даламбер белгісі. Мүшелері оң болатын [pic 14]
қатары үшін [pic 15] болса, онда:
1) [pic 16] болғанда, қатар жинақты;
2) [pic 17] болғанда, қатар жинақсыз;
3) [pic 18] болғанда, қатар жинақты да немесе жинақсыз да болуы мүмкін.
3-мысал. [pic 19] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 20]
[pic 21]
яғни қатар жинақты.
4-мысал. [pic 22] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 23]
[pic 24]
[pic 25] яғни қатар жинақты болады.
в) Кошидің радикалдық белгісі. Мүшелері оң болатын [pic 26] қатары үшін
[pic 27]
болса, онда:
1) [pic 28] болғанда, қатар жинақты;
2) [pic 29] болғанда, қатар жинақсыз;
3) [pic 30] болғанда, қатар жинақты немесе жинақсыз болуы мүмкін.
5-мысал. [pic 31] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі.[pic 32]
мұндағы [pic 33] яғни қатар жинақты.
6-мысал. [pic 34]қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 35]яғни қатар жинақты
г) Кошидің интегралдық белгісі. Мүшелері оң және өспейтін
[pic 36]
қатары, яғни [pic 37] және [pic 38] болатындай [pic 39] - өспейтін үзіліссіз функциясы берілсін.
Егер [pic 40] меншіксіз интегралы жинақты (жинақсыз) болса, онда [pic 41] қатары да жинақты (жинақсыз) болады.
7-мысал. [pic 42] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 43] [pic 44]
Орындалатындықтан [pic 45] функциясын аламыз.
[pic 46]
[pic 47],
осыдан қатар жинақсыз.
8-мысал. [pic 48] Дирихле қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. [pic 49] функциясын қарастырамыз. Бұл функция Кошидің интегралдық белгісінің барлық шарттарын қанағаттандырады.
[pic 50]
интегралын қарастырайық.
Осыдан, егер [pic 51] болса, онда [pic 52]
егер [pic 53] болса, онда [pic 54]
егер [pic 55] болса, онда [pic 56]
Сонымен, егер [pic 57] болса, онда [pic 58] қатары жинақты, ал егер [pic 59] болса, онда ол жинақсыз болады.
[pic 60] болғанда , яғни [pic 61]
жинақсыз қатары гармоникалық қатар деп аталады.
9-мысал. [pic 62] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.
Шешуі. Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі бірге, бөлімінің дәрежесі үшке тең, олай болса айырмасы екіге тең болады. Сондықтан [pic 63] жинақты қатарымен салыстыра отырып, берілген қатардың жинақты екендігін көреміз.
...