Контрольная работа по "Математике"

12-дәріс.  Мүшелері оң сан қатарының жинақтылығының

 жеткілікті белгілері

а)  Бірінші салыстыру белгісі. 

               [pic 1]                              (1)

және                      

[pic 2]                                (2)

қатарлары берілсін және   [pic 3]  болсын.

Егер (2)-қатар жинақты болса, онда (1)-қатар да жинақты болады.

Егер (1)-қатар жинақсыз болса, онда (2)-қатар да жинақсыз болады.

1-мысал. [pic 4]  қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. [pic 5]яғни қажетті белгі орындалады.

Енді [pic 6] - шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған қатарды қарастырайық. Бұл қатар жинақты болады.

[pic 7]

теңсіздіктері орындалғандықтан, берілген қатар да жинақты болады;        

ә)  Екінші  салыстыру белгісі.  Егер  [pic 8] ақырлы шегі бар болса, онда [pic 9] және [pic 10] қатарлары екеуі де бірдей жинақты немесе бірдей жинақсыз болады.

2-мысал.  Жалпы мүшесі [pic 11] тең болатын қатардың жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. Берілген қатарды жалпы мүшесі [pic 12] болатын жинақты қатармен салыстырайық.

[pic 13]

Яғни ІІ салыстыру белгісі бойынша берілген қатар жинақты болады.

б)  Даламбер белгісі.   Мүшелері оң болатын  [pic 14]

қатары үшін   [pic 15]  болса, онда:

1) [pic 16] болғанда, қатар жинақты;

2) [pic 17] болғанда, қатар жинақсыз;

3) [pic 18] болғанда, қатар жинақты да немесе жинақсыз да болуы мүмкін.

3-мысал.  [pic 19] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі.    [pic 20]

[pic 21]

яғни қатар жинақты.

4-мысал.  [pic 22] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. [pic 23]

[pic 24]

[pic 25]   яғни қатар жинақты болады.        

в) Кошидің радикалдық белгісі.   Мүшелері оң болатын [pic 26] қатары үшін

[pic 27]

болса, онда:

1) [pic 28] болғанда, қатар жинақты;

2) [pic 29] болғанда, қатар жинақсыз;

3) [pic 30] болғанда, қатар жинақты немесе жинақсыз болуы мүмкін.

5-мысал.  [pic 31] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі.[pic 32]

мұндағы   [pic 33] яғни қатар жинақты.        

6-мысал.  [pic 34]қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. [pic 35]яғни қатар жинақты

г)   Кошидің интегралдық белгісі.   Мүшелері оң және өспейтін

[pic 36]

қатары, яғни    [pic 37]  және [pic 38] болатындай [pic 39] - өспейтін үзіліссіз функциясы берілсін.

Егер [pic 40] меншіксіз интегралы жинақты (жинақсыз) болса, онда [pic 41] қатары да жинақты (жинақсыз)  болады.

7-мысал. [pic 42] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. [pic 43]           [pic 44]

Орындалатындықтан    [pic 45]   функциясын аламыз.

[pic 46]

[pic 47],

осыдан қатар жинақсыз.  

8-мысал. [pic 48] Дирихле қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. [pic 49] функциясын қарастырамыз. Бұл функция Кошидің интегралдық белгісінің барлық шарттарын қанағаттандырады.  

[pic 50]

интегралын қарастырайық.

Осыдан, егер [pic 51] болса, онда    [pic 52]

егер [pic 53] болса, онда      [pic 54]

егер [pic 55] болса, онда      [pic 56]

Сонымен, егер [pic 57] болса, онда [pic 58] қатары жинақты, ал егер [pic 59] болса, онда ол жинақсыз болады.

[pic 60] болғанда , яғни    [pic 61] 

 жинақсыз қатары гармоникалық қатар деп аталады.

9-мысал.  [pic 62] қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі бірге, бөлімінің дәрежесі үшке тең, олай болса айырмасы екіге тең болады. Сондықтан [pic 63]  жинақты қатарымен салыстыра отырып, берілген қатардың жинақты екендігін көреміз.