Контрольная работа по "Математике"

Задание 3.3.1

Найти функцию , полученную из функций  и  по схеме примитивной рекурсии.[pic 1][pic 2][pic 3]

Вариант 12: , .[pic 4][pic 5]

Решение

Найдем несколько значений функции :[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Предполагаем, что . Докажем предположение методом математической индукции, проведя индукцию по . [pic 12][pic 13]

Проверяем при .[pic 14]

[pic 15]

При  предположение верно. [pic 16]

Допустим, что предположение верно при , т.е., допустим, что верна формула  (1). [pic 17][pic 18]

Докажем, что предположение верно при , т.е. докажем справедливость формулы  (2). Выразим  с помощью схемы примитивной рекурсии.[pic 19][pic 20][pic 21]

.[pic 22]

Доказана формула (2) в предположении справедливости формулы (1).

На основании метода математической индукции утверждаем, что функция  справедлива для всех . [pic 23][pic 24]

Ответ: [pic 25]

Задание 3.3.2

Найти функции, получаемые из данной числовой функции  с помощью операции минимизации по каждой её переменной.[pic 26]

Вариант 12: , .[pic 27][pic 28]

Решение

Минимизируем данную функцию по переменной . Рассмотрим уравнение  (1). При  равенство (1) выполнится.[pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Минимизируем данную функцию по переменной . Рассмотрим уравнение  (2). Если , то при подстановке вместо  нуля получаем верное равенство. Если , , , при подстановке вместо  нуля левая часть (2) будет равна правой, что противоречит . Если , , , уравнение (2) примет вид . Это уравнение не может выполниться ни при каких . Если , , то при  равенство (2) выполнится.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]