Контрольная работа по "Математике"
Автор: Ekaterina2590 • Ноябрь 30, 2021 • Контрольная работа • 1,442 Слов (6 Страниц) • 241 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
Интернет-институт
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине:
Математика
Семестр 3
Вариант 6
Выполнил: студент гр. ИБ360801
Петухов Владимир Сергеевич
Проверил: канд. физ.-мат. наук, доц.
Христич Дмитрий Викторович
Тула, 2021
- Определить тип и решить дифференциальное уравнение:
() ydx + () dy = 0.[pic 1][pic 2]
() dy + () ydx = 0[pic 3][pic 4]
Группировка по дифференциалам: () dy = (dx[pic 5][pic 6]
Выносим множитель: () dy = (dx[pic 7][pic 8]
Делим на y: (y + = (dx[pic 9][pic 10]
Это уравнение с разделяющими переменными . Интегрируем обе части уравнения:[pic 11]
.[pic 12]
Вычисляем полученные интегралы: ,[pic 13]
где – константа.[pic 14]
Ответ: [pic 15]
2. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:
([pic 16]
Преобразуем y′(x) = : [pic 17][pic 18]
Умножаем на дифференциал : ([pic 19][pic 20]
Это однородное уравнение. Функция M(y,x) однородна, если M(. Имеем = .[pic 21][pic 22][pic 23]
Подстановка: [pic 24]
) = [pic 25][pic 26]
Делим на : ) = [pic 27][pic 28][pic 29]
Группировка по дифференциалам: [pic 30]
Выносим множитель: [pic 31]
Делим на и на : ([pic 32][pic 33][pic 34]
Уравнение с разделяющими переменными . Интегрируем обе части уравнения: [pic 35][pic 36]
.[pic 37]
Обратная замена : , где – константа.[pic 38][pic 39][pic 40]
Ответ: , y=0.[pic 41]
3. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:
.[pic 42]
([pic 43]
Уравнение в полных дифференциалах , где и [pic 44][pic 45][pic 46]
Проверка на полный дифференциал: [pic 47]
Найдем : = [pic 48][pic 49][pic 50]
.[pic 51]
([pic 52]
.[pic 53]
.[pic 54]
Ответ: , где – константа.[pic 55][pic 56]
4. Найти решение задачи Коши:
y′′′ - 5y′′ + 4y = 0, y(0) = -2, y′(0) = 1, y′′(0) = 2, y′′′(0) = 0.
Задано линейное однородное дифференциальное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами. Составляем и решаем характеристическое уравнение:
[pic 57]
[pic 58]
Характеристическое уравнение имеет корни:
- действительный корень кратности 1, ему соответствует решение: [pic 59][pic 60]
[pic 61]
- действительный корень кратности 1, ему соответствует решение: [pic 62][pic 63]
[pic 64]
- действительный корень кратности 1, ему соответствует решение: [pic 65][pic 66]
[pic 67]
- действительный корень кратности 1, ему соответствует решение: [pic 68][pic 69]
[pic 70]
Общее решение заданного однородного уравнения – линейная комбинация этих четырёх решений:
[pic 71]
Тогда:
[pic 72]
[pic 73]
[pic 74]
Теперь используем начальные условия для решения задачи Коши.
[pic 75]
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
Решаем систему:
[pic 79]
Используем метод Гаусса для решения системы.
[pic 80]
[pic 81]
Получаем:
[pic 82]
[pic 83]
Решение задачи Коши:
[pic 84]
5. Найти общее решение уравнения:
.[pic 85]
= [pic 86][pic 87]
Это дифференциальное уравнение имеет вид: , где , , .[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91]
Уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-ого порядка с постоянными коэффициентами. Сначала решим соответствующее линейное однородное уравнение .[pic 92]
...