Контрольная работа по "Математике"
Автор: wert85 • Ноябрь 27, 2021 • Контрольная работа • 638 Слов (3 Страниц) • 195 Просмотры
Математика
Вариант 2
1. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду
[pic 1].
Решение:
Т.к. [pic 2], то уравнение принадлежит к параболическому типу.
Составим уравнения характеристик:
[pic 3]
Получаем:
[pic 4]
Решая эти уравнения, находим:
[pic 5]
Тогда для приведения исходного уравнения к каноническому виду сделаем замену [pic 6], получаем
[pic 7]
Канонический вид уравнения имеет вид:
[pic 8]
2. С помощью формулы Даламбера решить задачу Коши для волнового уравнения (уравнения колебания струны)
[pic 9]
Решение:
Используем формулу Даламбера:
[pic 10].
В нашей задаче [pic 11], [pic 12], [pic 13]. Получаем:
[pic 14]
3. Решить первую краевую задачу для волнового уравнения методом Фурье
[pic 15]
Решение:
Данная задача относится к задачам гиперболического типа с граничными условиями I рода. Значит решение будем искать в виде:
[pic 16]
[pic 17];
[pic 18].
В нашей задаче [pic 19]; [pic 20]; [pic 21]; [pic 22].
Т.к. [pic 23], то [pic 24].
[pic 25],
Этот интеграл не равен 0, только при k=6:
[pic 26]
Получаем искомое решение:
[pic 27].
4. Решить вторую краевую задачу для волнового уравнения методом Фурье
[pic 28]
Решение:
Данная задача относится к задачам гиперболического типа с граничными условиями II рода. Значит решение будем искать в виде:
[pic 29]
[pic 30]; [pic 31]
[pic 32];
[pic 33].
В нашей задаче [pic 34]; [pic 35]; [pic 36]; [pic 37].
[pic 38];
[pic 39].
Этот интеграл не равен 0, только при k=6:
[pic 40].
[pic 41];
[pic 42]
Этот интеграл не равен 0, только при k=6:
[pic 43].
Получаем искомое решение:
[pic 44].
5. Решить смешанную краевую задачу для волнового уравнения методом Фурье
[pic 45]
Решение:
Данная задача относится к задачам гиперболического типа с граничными условиями смешанного типа. Значит решение будем искать в виде:
[pic 46]
[pic 47];
[pic 48].
В нашей задаче [pic 49]; [pic 50]; [pic 51]; [pic 52].
Т.к. [pic 53], то [pic 54].
[pic 55],
Этот интеграл не равен 0, только при k=3:
[pic 56].
Получаем искомое решение:
[pic 57].
6. С помощью формулы Пуассона решить задачу Коши для уравнения теплопроводности
[pic 58]
Решение:
Используем формулу Пуассона:
[pic 59].
В нашей задаче [pic 60], [pic 61]. Получаем:
...