Контрольная работа по "Математике"

Математика

1. Производные

Производной функции y=f(x) в данной точке х0 называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

[pic 1]

Основные функции и их производные:

[pic 2]

Основные правила дифференцирования:

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных:

[pic 3]

2. Производная произведения:

[pic 4]

3. Производная частного:

[pic 5]

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции:

[pic 6]

https://educon.by/index.php/materials/hmath/osnovy-proizvodnye 

2. Вектора

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

[pic 7] 

Длина вектора обозначается знаком модуля: [pic 8], [pic 9]

Свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков.

[pic 10]

Действия с векторами:

1. Сложение векторов

Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы [pic 11] и [pic 12], помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов [pic 13] и [pic 14].

[pic 15]

Правило треугольника. Возьмем те же векторы [pic 16] и [pic 17]. К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов [pic 18] и [pic 19].

[pic 20]

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

[pic 21]

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из B в C, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов [pic 22] и [pic 23] получаем:

[pic 24]

[pic 25]

2. Вычитание векторов

Вектор [pic 26] направлен противоположно вектору [pic 27]. Длины векторов [pic 28] и [pic 29] равны.

[pic 30]

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов [pic 31] и [pic 32] - это сумма вектора [pic 33] и вектора [pic 34].

[pic 35]

3. Умножение вектора на число

При умножении вектора [pic 36] на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины [pic 37]. Он сонаправлен с вектором [pic 38], если k больше нуля, и направлен противоположно [pic 39], если k меньше нуля.

[pic 40]

4. Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

[pic 41]

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов [pic 42] и [pic 43] :

[pic 44]

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

[pic 45]

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: [pic 46], при этом возможна детализация: [pic 47] (векторы сонаправлены) или [pic 48] (векторы направлены противоположно).