Контрольная работа по "Математике"

Вариант № 7

Вычислить предел функции по правилу Лопиталя

Решение.

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность вида 0/0 и ∞/∞

Для lim┬(x→0)⁡〖sin⁡〖x^2 〗/(e^(x^2 )-cos⁡2x )〗=0/0; [получили неопределенность вида 0/0 ]

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

lim┬(x→a)⁡〖(f^' (x))/(g^' (x))〗

Для данного случая:

f(x)=sin⁡〖x^2 〗

g(x)=e^(x^2 )-cos⁡2x

Найдем производные от функции f и g

f^' (x)=(sin⁡x^2 )^'=2*x*cos⁡〖x^2 〗 (правило нахождение производной сложной функции f(g(x))' = f'(g(x))•g'(x) )

g^' (x)=(e^(x^2 )-cos⁡2x )^'=2*x*e^(x^2 )+2*sin⁡2x (правило нахождение производной сложной функции f(g(x))' = f'(g(x))•g'(x) и правило разности производных (f − g)’ = f ’ − g ’ )

Получаем:

lim┬(x→0)⁡〖(f^' (x))/(g^' (x))〗= (2*x*cos⁡〖x^2 〗)/(2*x*e^(x^2 )+2*sin⁡2x ); lim┬(x→0)⁡〖 (x*cos⁡〖x^2 〗)/(x*e^(x^2 )+sin⁡2x )〗=0/0

[получили неопределенность вида 0/0 ].

Теперь

f(x)=x*cos⁡〖x^2 〗

g(x)=x*e^(x^2 )+sin⁡2x

Применим правило Лопиталя еще раз.

Найдем производные от функции f и g

f^' (x)=(x*cos⁡〖x^2 〗 )^'=-2*x*x*sin⁡〖x^2 〗+cos⁡〖x^2 〗 (правило произведения производных и правило нахождения производной сложной функции )

g^' (x)=(x*e^(x^2 )+sin⁡2x )^'=2*x*x*e^(x^2 )+e^(x^2 )+2*cos⁡2x

Получаем:

lim┬(x→0)⁡〖(f^' (x))/(g^' (x))〗=(-2*x*x*sin⁡〖x^2 〗+cos⁡〖x^2 〗)/(2*x*x*e^(x^2 )+e^(x^2 )+2*cos⁡2x )=(-2*0*0*sin⁡0+cos⁡0)/(2*0*0*e^0+e^0+2*cos⁡0