Контрольная работа по "Математике"

Задача 11. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у = f(x) и, используя результаты исследования, построить ее график.

11.10.    [pic 1]

Решение:

1. Функция определена на: (-∞, -[pic 2]), ([pic 3], +∞).
2. Если х = 0, то у = 2. Если у = 0, то х = [pic 4] и х = -[pic 5]. Итак, график функции пересекает ось ОУ в точке: 2, ось ОХ в точках [pic 6] и -[pic 7].
3. Функция знакоположительна на интервалах: (-∞, -[pic 8]), (-[pic 9];[pic 10]), ([pic 11]; +∞), знакоотрицательна (-[pic 12],-[pic 13]), ([pic 14],[pic 15]).
4. Функция четная, симметрична относительно оси абсцисс.
5. Прямые х = -[pic 16], х = [pic 17] являются ее вертикальными асимптотами.

Выясним наличие наклонной асимптоты:

[pic 18]

[pic 19]

Получили наклонную асимптоту: у = 1.

1. Находим интервалы возрастания и убывания функции:

для этого находим производную:

[pic 20]

Производная равна нулю при х = 0 и неопределенна при х = -[pic 21], х = [pic 22].

Функция возрастает: (0; [pic 23]), ([pic 24]; +∞), убывает: (-∞, -[pic 25]), (-[pic 26], 0).

1. Исследуем функцию на экстремум:

[pic 27]

1. Исследуем функцию на выпуклость:

находим вторую производную:

[pic 28]

Вторая производная равна нулю или не существует при х = [pic 29], х = -[pic 30].

График функции выпуклый вверх на интервале: (-∞; -[pic 31]), ([pic 32], +∞) выпуклый вниз на интервале: (-[pic 33],[pic 34]).

График функции:

[pic 35]