Контрольная работа по "Математике"

Задание 1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ; в) уравнение медианы АЕ; г) длину медианы АЕ.

А(1;1), В(4,13), С(10,5)

Решение:

а) уравнение стороны АВ

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

d = (x2-x1)2 + (y2-y1)2

|AB| = (4-1)2 + (13-1)2 = 32 + 122 = 153 = 12.37

б) уравнение высоты CD, опущенной из вершины С на сторону АВ

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

x - x0A = y - y0B

Найдем уравнение высоты через вершину С

x - 14 = y - 13

y = 3/4x + 1/4 или 4y -3x - 1 = 0

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой CD.

D(217/25;169/25)

Найдем уравнение высоты через вершину B

x - 4-4 = y - 139

y = -9/4x + 22 или 4y +9x -88 = 0

Найдем точку пересечения высот.

Имеем систему из двух уравнений:

4y -3x - 1 = 0

4y +9x -88 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = 29/4

y = 91/16

в) уравнение медианы АЕ

Уравнение медианы AE найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(1;1) и E (7;9), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:

x - 17 - 1 = y - 19 - 1

или

x - 16 = y - 18

или

y = 4/3x -1/3 или 3y -4x +1 = 0

г) длину медианы АЕ

Найдем длину медианы.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

|R| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

|AE| = (7 - 1)2 + (9 - 1)2 = 62 + 82 = 100 = 10

Обозначим середину стороны AC буквой E. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

xm = xA + xC2 = 1 + 102 = 11/2

ym = yA + yC2 = 1 + 52 = 3

M(11/2;3)

Задание 2. По графику технического обслуживания бригад техников заменили видов реле. Матрица задает количество замененных реле каждой бригадой в первом квартале, матрица – соответственно во втором; – количество замененных реле -го типа -й бригадой в 1-м и 2-м кварталах соответственно. Найти: а) количество замененных реле за полгода; б) прирост количества замененных реле во втором квартале по сравнению с первым по видам реле и бригадам. Проинтерпретировать результат.

,

Решение:

Матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.

Вычислим определитель матрицы А:

Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.

?1,1 = 2*(4* - 1*) - 1*(4* - 1*) + 3*(4* - 4*) = 0

Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.

?2,1 = 1*(4* - 1*) - 1*(7* - 1*) + 3*(7* - 4*) = 0

Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.

?3,1 = 1*(4* - 1*) - 2*(7* - 1*) + 3*(7* - 4*) = 0

Минор для (4,1):