Контрольная работа по "Математике"

3x+4y+2z=8

2x- y - 3z = -1

x+ 5y + z = -7

Решение. Запишем систему уравнений в матричном виде:

3x+4y+2z=8, 3 4 2 х 8

2x- y - 3z = -1, 2 -1 -3 * y = -1

x+ 5y + z = -7, 1 5 1 z -7

3 4 2 х 8

A= 2 -1 -3 , B= y , X= -1

1 5 1 z -7

Найдём определитель матрицы A:

3 4 2

= |A|= 2 -1 -3 =3*(-1)*1+4*(-3)*1+2*5*2-2*(-1)*1-4*2*1-3*(-3)*5=44

1 5 1

Найдём определители матриц, полученных из матрицы A заменой i-го столбца на столбец B правых частей (i=1,2,3):

x=

8 4 2

-1 -1 -3

-7 5 1

=176

y=

3 8 2

2 -1 -3

1 -7 1

=-132

z=

3 4 8

2 -1 -1

1 5 -7

=176

Подставим полученные значения в формулы Крамера и найдём решение системы:

x= 176/44=4 y= -132/44= -3 z=176/44=4

Ответ: x=4, y= -3, z=4

Задание 2. Аналитическая геометрия

По заданным точкам: A(0;0;0), B(2;0; 1), C(0;2;0), D(1;-1;1). Составить уравнение прямой АВ и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки А до плоскости BCD.

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки (xi, yi, zi), i=1,2 имеет вид:

Подставим в уравнение значения координат точек A(0;0;0), B(2;0; 1) и преобразуем выражение:

x-0

y-0

z-0

2-0 0-0 1-0

x/2=y/0=z/1- каноническое уравнение прямой АВ.

В знаменателях канонических уравнений прямой указаны координаты направляющего вектора прямой: q=(2;0;1)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки (xi, yi, zi), i=1,2,3 имеет вид:

x-x1 y-y1 z-z1

x2-x1 y2-y1 z2-z1

x3-x1 y3-y1 z3-z1

=0

Подставим в уравнение значения координат точек B(2;0; 1), C(0;2;0), D(1;-1;1) и преобразуем выражение:

x-2

y-0 z-1

x-2

y z-1

0-2

2-0 0-1 =0 => -2 2 -1 =0

1-2 -1-0 1-1 -1 -1 0

Вычислим определитель (формула «по первой строке»):

(x-2) 2 1

-y -2

-1

+(z-1) -2

2

=0

-1 0 -1 0 -1 -1

(x-2)(-1) -(-1)y+4(z-1)=0

-x+y+4z-1=0 — уравнение плоскости BCD.

Коэффициенты перед переменными – координаты нормали к плоскости

n=(-1; 1;4).

Угол между плоскостью и прямой можно найти, зная нормаль плоскости и направляющий вектор прямой:

,

sinφ= ((2,0,1)*(-1,1,4))/|(2,0,1)||(-(1),1,4)|=(2*(-1)+0*1+1*4)/√(22+02+12)√((-1)2+12+42)= 2/√90

Найдём значение угла : φ=arcsin2/√90

Расстояние от точки до плоскости — это проекция произвольного вектора, соединяющего плоскость и точку на нормаль этой плоскости:

d (A, BCD)=│пр n AB│=│(AB*n)/|n|│

d (A, BCD)=│(2,0,1)*((-1)*1*4)/ √((-1)2+12+42│=2/√18

Ответ: x/2=y/0=z/1; -x+y+4z-1=0; arcsin2/√90, 2/√18

Задание 3. Предел функции

Вычислить пределы.

а) lim┬(x→∞)⁡〖(〖5x〗^2-4x+1)/(〖3x〗^2+x-4)〗=[∞/∞]=(вынесем в числителе и знаменателе старшую степень)=

=lim┬(x→∞) (x^2 (5-□(4/x)+□(1/x^2