Контрольная работа по "Математике"

Математика 1

Задание 1.

        Вычислить определитель:

а) разложив его по элементам i-ой строки;

б) разложив его по элементам j-го столбца.

[pic 1],    i = 2,  j = 3.

        Решение.

        а) Вычислим определитель разложением по элементам 2-й строки:

[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

        Определители 3-го порядка вычислим по «правилу треугольника»:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

        Окончательно получаем:

[pic 9]

        б) Вычислим определитель разложением по элементам 3-го столбца:

[pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

        Определители 3-го порядка вычислим по «правилу треугольника»:

[pic 14]

[pic 15] (вычислен в пункте а);

[pic 16] 

        Окончательно получаем:

[pic 17]

        Ответ: [pic 18].

        Задание 2.

        Даны две матрицы А и В. Найти:

а) 2А + 3В – nE;

б) АВ;

в) A-1,

где n = 3.

A = [pic 19],  B = [pic 20].

        Решение.

        а) [pic 21].

        Будем выполнять по действиям, используя операцию умножения матрицы на число и операцию сложения матриц:

[pic 22]2 ∙ [pic 23] = [pic 24] = [pic 25];

[pic 26]3 ∙ [pic 27] = [pic 28] = [pic 29];

[pic 30] [pic 31] ∙ [pic 32] = [pic 33] = [pic 34];

[pic 35][pic 36] + [pic 37] + [pic 38] =

= [pic 39] = [pic 40].

        б) [pic 41].

        Произведение матрицы A на матрицу B возможно, поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

        Найдём матрицу C произведения матриц A и B. Для этого вычислим её элементы, умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы столбцов матрицы B:

[pic 42] [pic 43] ∙ [pic 44] =

= [pic 45] =

= [pic 46] = [pic 47].

        в) A-1.

        Вычислим определитель матрицы A:

[pic 48]

        Поскольку [pic 49], то матрица A необратима, то есть для неё не существует обратная матрица A-1.

        Ответ: а) [pic 50];  б) [pic 51];  в) не существует.

        Задание 3.

        Решить систему линейных уравнений:

а) по формулам Крамера;

б) матричным методом.

[pic 52]

        Решение.

        Запишем данную систему в матричном виде AX = B, где:

где [pic 53][pic 54] – матрица коэффициентов при неизвестных;

[pic 55][pic 56] – матрица-столбец неизвестных;

[pic 57][pic 58] – матрица-столбец свободных членов.

        Проверим совместность системы.

        Согласно теореме Кронекера-Капелли, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то такая система совместна. В частности, если число уравнений равно числу неизвестных, то для того, чтобы система была совместна и имела единственное решение, достаточно, чтобы главный определитель системы не был равен нулю.

        В данной задаче три уравнения с тремя неизвестными. Вычислим главный определитель системы (определитель матрицы [pic 59]):

...