Контрольная работа по "Математике"
Автор: vik24 • Сентябрь 10, 2019 • Контрольная работа • 2,670 Слов (11 Страниц) • 257 Просмотры
Контрольная работа № 4
Вариант № 13
1. Исследовать сходимость ряда
303. а) [pic 1]; б) [pic 2]; в) [pic 3].
2. Найти область сходимости ряда
323. [pic 4].
3. Разложить в ряд Маклорена функцию
343. [pic 5].
4. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка
363. а) [pic 6]; б) [pic 7].
5. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка
383. а) [pic 8]; б) [pic 9].
Решение
1. Исследовать сходимость ряда:
а) [pic 10];
Решение. Общий элемент ряда равен [pic 11]. Найдем предел общего элемента ряда: [pic 12]. Необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.
Ответ: ряд [pic 13] расходиться
б) [pic 14];
Решение. Так как [pic 15], [pic 16], то [pic 17]. Предел отношения [pic 18] элемента к [pic 19] элементу равен [pic 20], следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Ответ: ряд [pic 21] сходиться.
в) [pic 22].
Решение. Так как элементы знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине [pic 23], и предел общего элемента равен [pic 24], то по признаку Лейбница ряд сходится.
Ответ: ряд [pic 25] сходиться.
2. Найти область сходимости ряда:
[pic 26]
Решение. Так как [pic 27], [pic 28], то радиус сходимости равен [pic 29]. Интервал сходимости ряда [pic 30]. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
При [pic 31] данный степенной ряд принимает вид [pic 32]. Исследуем знакочередующийся ряд по признаку Лейбница. Так как элементы знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине [pic 33], и предел общего элемента [pic 34], следовательно, ряд сходится.
При [pic 35] данный степенной ряд принимает вид [pic 36]. Сравним данный ряд с гармоническим рядом [pic 37], у которого [pic 38]. Так как [pic 39], то исследуемый ряд расходится, так как расходится ряд [pic 40].
Ответ: область сходимости ряда [pic 41].
3. Разложить в ряд Маклорена функцию
[pic 42]
Решение. Так как [pic 43], то заменяя [pic 44] на [pic 45], получим [pic 46]
Область сходимости ряда [pic 47].
4. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка
а) [pic 48];
Решение.
Дифференциальное уравнение [pic 49] является неполным дифференциальным уравнением первого порядка. Учитывая, что [pic 50], тогда [pic 51]. Проинтегрировав обе части уравнения [pic 52], получим общее решение [pic 53].
б) [pic 54].
Решение. Дифференциальное уравнение [pic 55] является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пусть [pic 56], [pic 57], тогда уравнение [pic 58] примет вид [pic 59] или [pic 60].
Положим [pic 61] или [pic 62]. Дифференциальное уравнение [pic 63] является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим обе части данного уравнения на [pic 64], получим [pic 65] или [pic 66]. Проинтегрировав обе части уравнения [pic 67], получим [pic 68]. Частное решение при [pic 69] будет иметь вид [pic 70], откуда [pic 71].
...