Контрольная работа по "Математике"
Автор: gimmishin • Август 8, 2019 • Контрольная работа • 2,120 Слов (9 Страниц) • 312 Просмотры
Контрольная работа №1.
40. Дано:[pic 1]
Доказать совместность системы линейных алгебраических уравнений и решить её: 1) используя формулы Крамера; 2) методом Гаусса.
Решение.
Совместность данной системы уравнений докажем, используя теорему Кронекера – Капелли:
«Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы».
Основная матрица системы:[pic 2]
Расширенная матрица системы:[pic 3]
Ранг расширенной матрицы системы равен
[pic 4]
т. к. наибольший из порядков миноров данной матрицы / 3-ий порядок/, например
отличен от нуля.[pic 5]
Ранг основной матрицы также равен трём: [pic 6]
Таким образом, система совместна, причём имеет единственное решение, т. к. ранг системы равен числу неизвестных.
Решаем систему по формулам Крамера.[pic 7]
где Δ - определитель основной системы; Δxi - определитель, получающийся заменой i – ого столбца определителя основной системы столбцом свободных членов. Имеем:[pic 8]
[pic 9]
Решаем систему методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.[pic 10]
Умножим первую строку матрицы на –4/7 и сложим со второй. Получим эквивалентную матрицу:
[pic 11]
Далее, прибавим к третьей строке первую, умноженную на –2/7:
[pic 12]
Вторую строку умножим на –31/20 и сложим с третьей:[pic 13]
Получаем систему, эквивалентную исходной:[pic 14]
Из третьего уравнения находим:
[pic 15]
Из второго:[pic 16]
Из первого:[pic 17]
Возможно также применение метода исключения Гаусса – Жордана:
[pic 18]
60. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. [pic 19]
Найти:
- длину ребра АВ;
- величину угла (в градусах и минутах) между рёбрами АВ и AD;
- площадь грани АВС;
Сделать чертёж в декартовой системе координат.
Решение.
1). Расстояние между двумя точками Р1(x1;y1;z1) и P2(x2;y2;z2) находится по формуле:[pic 20]
Находим:[pic 21]
2). Угол γ между прямыми АВ и АD, направление которых определяется векторами AB(xB-xA;yB-yA;zB-zA) и AD(xD-xA;yD-yA;zD-zA):
[pic 22][pic 23]
Отсюда[pic 24]
3). Площадь S грани (треугольника) АВС определяется формулой:[pic 25]
Вычисляем:[pic 26]
Пирамида:
80. Дано:[pic 27]
Записать число[pic 28]
в алгебраической и тригонометрической формах; построить число z на комплексной плоскости.
Решение.
Выполним деление. Для комплексных чисел[pic 29]
имеет место формула:[pic 30][pic 31]
При сложении комплексных чисел складываются соответствующие их части:
[pic 32]
Тригонометрическая форма. Находим модуль числа z:[pic 33]
Главное значение аргумента (принадлежащее промежутку [0;2π)):
...