Контрольная работа по "Математике"
Автор: ysmur • Июль 8, 2019 • Контрольная работа • 1,029 Слов (5 Страниц) • 319 Просмотры
Вариант 10.
Контрольная работа №3
120. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием:
[pic 1]
Решение:
а) [pic 2]
Выполним замену. Обозначим [pic 3]тогда, т.к. [pic 4] имеем, [pic 5] и, значит, интеграл равен
[pic 6]
Проверка: [pic 7]
б) [pic 8]
Для вычисления данного интеграла надо выделить полный квадрат из квадратного трехчлена:
[pic 9]
Сделаем замену [pic 10]. Тогда
[pic 11]
Проверка: [pic 12]
[pic 13]
в) [pic 14]
Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: [pic 15].
Положим [pic 16],
тогда [pic 17]
Получаем,
[pic 18]
Интеграл [pic 19] также вычислим методом интегрирования по частям: [pic 20].
Положим [pic 21],
тогда [pic 22]
И, [pic 23]
Подставляем
[pic 24]
Проверка: [pic 25]
130. Найти неопределенные интегралы:
[pic 26]
Решение:
а) [pic 27]
Так как [pic 28], то для вычисления интеграла разложим рациональную дробь на простейшие дроби.
[pic 29]
Отыщем методом неопределенных коэффициентов постоянные А, В, С. Умножая на [pic 30]обе части равенства, получим
[pic 31]
Это равенство тождественно по х тогда и только тогда, когда выполнены равенства (равны коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях):
При х2 2А +2В+С = 0 2В+С=-2
При х1 –3А - В - С = 0 -В-С=3 В=1 С=-4
При х0 А = 1 А=1
Итак, [pic 32]
[pic 33]
[pic 34]; [pic 35];
[pic 36];
[pic 37]
б) [pic 38]
Для вычисления данного интеграла необходимо числитель представить в виде суммы, каждый член которой содержит 1+t.
[pic 39] [pic 40] [pic 41] [pic 42]
[pic 43]
При раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверим это:
[pic 44]Таким образом,
[pic 45]
Выполним обратно замену переменной на х:
[pic 46]
в) [pic 47]
Для вычисления данного интеграла необходимо числитель представить в виде суммы, каждый член которой содержит 1+t².
[pic 48] [pic 49] [pic 50]
[pic 51]
При раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверим это:
[pic 52]
Таким образом, [pic 53]
Выполним обратно замену переменной на х:
[pic 54]
140. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x3, y = 2x.
Решение:
Найдем абсциссы точек пересечения данных линий:
[pic 55]
[pic 56]
Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми: [pic 57]
При [pic 58]. Получим:
[pic 59]
При [pic 60]. Получим:
[pic 61]
Тогда площадь фигуры ограниченной линиями [pic 62]
Ответ: 2 кв. ед.
150. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
[pic 63]
Решение: По определению [pic 64].
[pic 65].
Вычислим сначала соответствующий неопределенный интеграл. Для этого в знаменателе выделим полный квадрат и приведем его к виду [pic 66].
[pic 67]
[pic 68]
Контрольная работа №4
...