Контрольная работа по "Математике"

Задание №1. Выполнить действия над множествами

Определить множества, если [pic 1]

|x - 1| ≥ 2 => x [pic 2] (-∞; 0) [pic 3] (2; +∞) – т.е. х – любое число, кроме х = 0; х = 1;

х = 2.

А = {-∞ [pic 4][pic 5]} = {-∞; …; -2; -1; 3; 4; …; +∞}

|x - 1| + |x - 2|[pic 6]3

x = 1

x = 2

B = {1; 2}

A[pic 7][pic 8] B = {-∞; …; -3; -2; -1; 1; 2; …; +∞} = {±1; ±2; ±3; …; ±h; …}

A[pic 9]B = [pic 10]

A/B = A

B/A = B

|[pic 11][pic 12] = {0; 1; 2}

|[pic 13][pic 14] = {-∞; < x < [pic 15] 2 < x < +∞} = {-∞; …; -1; 0; 3; 4; …; +∞}

Задание №2. Найти область определения функции

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]; [pic 19]; [pic 20]

Задание №3. Найти предел функции

[pic 21]

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x - 1) .

Найдем корни первого многочлена:

- x2 – 3x + 4 = 0

D=(-3)2 - 4(-1)*4=25

[pic 22]

[pic 23]
Найдем корни второго многочлена:

x2 +5 x - 6 = 0

D=52 - 4*1(-6)=49

[pic 24]
[pic 25]
Получаем:
[pic 26]

Задание №4. Найти производную функции

[pic 27]

[pic 28] = [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32] = [pic 33] = [pic 34]
Поскольку:
[pic 35] = [pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40] = 
[pic 41] = [pic 42] = [pic 43]
Ответ:
[pic 44]

Задание №5. Провести полное исследование поведения функции. Построить эскиз

[pic 45]

1) Четность или нечетность функции.
[pic 46]

Функция общего вида

2) Точки пересечения кривой с осями координат.

Пересечение с осью 0Y

[pic 47]

Пересечение с осью 0X

y=0
[pic 48]

Нет пересечений.

3) Исследование на экстремум.

y = sqrt(x^2-x+2)

1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
[pic 49]
или
[pic 50]

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
2x-1 = 0

Откуда:
x1 = 1/2

В окрестности точки x = 1/2 производная функции меняет знак с (-) на (+).

Следовательно, точка x = 1/2 - точка минимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
[pic 51]
или
[pic 52]
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

[pic 53]

Для данного уравнения корней нет.

4) Асимптоты кривой.

[pic 54]

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

[pic 55]
Находим коэффициент k:

[pic 56]
[pic 57]
Находим коэффициент b:

[pic 58]
[pic 59]

Получаем уравнение наклонной асимптоты:

[pic 60]

График

[pic 61]

Задание №6. Вычислить неопределенный интеграл

[pic 62]

Выражение -x2 подведем под знак дифференциала, т.е.:

[pic 63]

Тогда исходный интеграл можно записать так:

[pic 64]
[pic 65]
[pic 66]

Задание №7.  Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями

[pic 67], [pic 68], x = e

Найдём пределы интегрирования. Подставим у = 0 в y=lnx; тогда х = 1

Это нижний предел, потому что верхний известен х = е.

Вычисляем интеграл