Контрольная работа по «Математике»

Контрольная работа по дисциплине «Математика» за 2 семестр

Вариант 4

Теория вероятностей

1. Внутрь правильного треугольника наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанной окружности.

Решение:[pic 1]

Пусть сторона правильного треугольника a, а высота. Тогда его площадь [pic 4][pic 2][pic 3]

Так как высоты правильного треугольника являются также и биссектриссами, и медианами, то радиус вписанной окружности равен . Площадь вписанной окружности равна:[pic 5]

[pic 6]

Геометрическая вероятность события (точка окажется внутри вписанной окружности):

[pic 7]

Ответ: .[pic 8]

2. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

Решение:

Количество вариантов равно числу перестановок из четырех элементов:

[pic 9]

Ответ: 24

3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

Решение:

Количество способов равно числу размещений четырех элементов из двенадцати:

[pic 10]

Ответ: 11880.

4. На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение:

Количество треугольников равно числу сочетаний 3 элементов из 25:

[pic 11]

Ответ: 2300

5.Найти вероятность того, что день рождения у ребенка 7 числа.

Решение:

Событие А – день рождения у ребенка 7 числа.

Всего дней в годуn=365 (без високосного года), событию А благоприятствуют m=12.

Вероятность события А: [pic 12]

Ответ: [pic 13]

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,7. Найти вероятность того, что все трое попадут в мишень.

Решение:

Событие А – первый стрелок попадет в мишень: [pic 14]

Событие B – второй стрелок попадет в мишень: [pic 15]

Событие С – третий стрелок попадет в мишень: [pic 16]

Искомое событие – все трое стрелков попадут в мишень (осуществились все три события).События A,Bи С независимы, поэтому вероятность события D:[pic 17]

[pic 18]

Ответ: 0,504

7. Среди 6 ламп имеется 2 неисправных. Лампы включают по очереди до выявления обеих неисправных. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на 4 лампе.

Решение:

Данный эксперимент заключается в трех исходах:

1. Событие А1 – первая лампа неисправна; событие В1 – вторая лампа исправна; событие С1 – третья лампа исправна; D1 – четвертая лампа неисправна.

Искомое событие  – эксперимент закончится на четвертой лампе. События А1, В1, С1и D1зависимые. Вероятность события Е1:[pic 19]

)[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

2. Событие А2 – первая лампа исправна; событие В2 – вторая лампа неисправна; событие С2 – третья лампа исправна; D2 – четвертая лампа неисправна.

Искомое событие  – эксперимент закончится на четвертой лампе. События А2, В2, С2 и D2 зависимые. Вероятность события Е2:[pic 26]

)[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

3. Событие А3 – первая лампа исправна; событие В3 – вторая лампа исправна; событие С3 – третья лампа неисправна; D3 – четвертая лампа неисправна.

Искомое событие  – эксперимент закончится на четвертой лампе. События А3, В3, С3 и D3 зависимые. Вероятность события Е3:[pic 33]

)[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Вероятность того, что эксперимент закончится на четвертой лампе, равна сумме вероятностей трех несовместимых исходов данного эксперимента: