Контрольная работа по "Математике"

Вариант 8.

1. Вычислить определитель двумя способами:

а) разложив по элементам 4-го столбца;

б) предварительно получив нули в 3-ей строке .

Δ=[pic 1]

Вычислим определитель с помощью литературы Рябушко И.П. из списка [2].

а) Разложив по элементам 4 столбца вычислим определитель.

=[pic 2]

= -3*+2*-1*+4*=[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

=-9+6*-3*+8*-4*+2*-4*+3*-1*+16*-12*+8=[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

=-9*1+6*10-3*13+8*1-4*(-1)+2*(-2)-4*10+3*(-1)+7+16*13-12*(-2)+8*(-7)=160

Ответ: Δ=160

б) Вычислим определитель, предварительно получив нули в 3-ей строке методом элементарных преобразований.

 Δ=[pic 19]

Зафиксируем 2 столбец, т.к. а12=1.

Преобразуем 3ью строку таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.

=== [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

В третьей строке преобразовали нули. Теперь разложим по 3ей строке.

2*= [pic 25]

= -10*+12*+2=160[pic 26][pic 27][pic 28]

Ответ: Δ=160

1. Найти Минор М43 и Алгебраическое дополнение А24 определителя Δ.

Для решения данного задания воспользуемся методической литературой из списка [1].

 Δ=[pic 29]

Вычеркиваем в заданном определителе четвертую строку и третий столбец и найдем определитель по правилу треугольников:

М43=  =  =[pic 30][pic 31]

=4*4*1-*2*3-3*1*1+3*3*3+2*1*2-2*3*4= -4

А43=(-1)4+3*(-4)= 4

М24= = = [pic 32][pic 33]

=4*3*3-4*4*2-2*1*3+2*2*2+1*1*4-1*2*3= 4

А24=(-1)2+4*4= 4

Ответ: М43=-4, А24=4.

1. Найти А2, если А=[pic 34]

Для возведения матрицу в квадрат, умножим матрицу по формуле [2]:

А2 = А*А =*=[pic 35][pic 36]

[pic 37]

=[pic 38]

Ответ: А2=[pic 39]

1. Вычислить угол между прямой, проходящей через точки А(0,1) и В(2,3) и прямой 5х+у-10=0

Воспользуемся методической литературой из списка [3].

Из точек А и В составим уравнение прямой по формуле канонического уравнения прямой:

=[pic 40][pic 41]

=[pic 42][pic 43]

=[pic 44][pic 45]

у=х+1

х-у+1=0   и   5х+у-10=0

Найдем угол между прямыми

Cosφ= [pic 46]

Cosφ===[pic 47][pic 48][pic 49]

Cosφ=0,55

φ=arcos (0.55)=56.31°

Ответ: φ=arcos (0.55)=56.31°

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды:

А1(1,-1,1),   В1(2,1,-1),   С1(-2,0,3),   Д1(2,-2,-4)

Найти:

а) длина ребра А1В1;

б) косинус угла между векторами  и ;[pic 50][pic 51]

в) уравнение ребра;

г) уравнение грани А1В1С1.

Решение:

а) Длина ребра А1В1 найдем по формуле , определив вектор:=(1;2;-2)[pic 52][pic 53][pic 54]

===3[pic 55][pic 56][pic 57]

б) Косинус угла найдем по формуле:

Cosφ=[pic 58]

Определим вектор [pic 59]

=(-3;1;2)[pic 60]

==[pic 61][pic 62][pic 63]

=1*(-3)+2*1-2*2=-5[pic 64]

Cosφ=-=0,445[pic 65]

в) Уравнение ребра А1В1 найдем по формуле:

= [pic 66][pic 67]

А1(1,-1,1)  ,  В1(2,1,-1)

Уравнение прямой А1В1 (1,2,-1)

 =[pic 68][pic 69]

Параметрическое уравнение прямой

     [pic 70]

     [pic 71]

г) Уравнение грани А1В1С1    А1(1,-1,1), В1(2,1,-1), С1(-2,0,3) определим по формуле:

=0[pic 72]

=0[pic 73]

(x-1)*(2*2-1*(-2))-(y+1)*(1-2-(-3)*(-2))+(z-1)*(1*1-(-3)*2=6x+4y+7z-9=0

1. Исследовать систему на совместность, в случае совместимости найти решение:

а) по формулам Крамера;