Контрольная работа по "Математике"

Вариант 4

1. Какова вероятность набрать правильный пароль при входе в личный кабинет, если известно, что на первом и втором месте может стоять любая цифра (цифры могут повторяться), а на третьем и четвертом местах – одна из 8 гласных букв, причем они не могут совпадать?

Решение:

Воспользуемся теоремой умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38], тогда вероятность расположить первой одну правильную цифру из 10 равна , вероятность расположить второй одну правильную цифру из 10 равна . Вероятность расположить третьей одну гласную букву из 8 равна  Вероятность расположить четвертой гласную букву из 7, так как они не могут совпадать, равна  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Тогда искомая вероятность набрать правильный пароль при входе в личный кабинет равна .[pic 5]

1. Служащий банка может ездить на работу на трамвае или на автобусе. В 1/3 случаев он пользуется трамваем, а в 2/3 – автобусом. Если он едет на трамвае, то опаздывает с вероятностью 0,05, а если едет на автобусе, то с вероятностью 0,01. Сегодня служащий опоздал. Какова вероятность, что он ехал на трамвае?

Решение:
Обозначим события:

 – служащий банка ездит на трамвае;[pic 6]

 – служащий банка ездит на автобусе;[pic 7]

F – служащий опоздал.

По условию:

[pic 8]

[pic 9]

Найдем вероятность того, что служащий сегодня опоздал по формуле полной вероятности [1, стр. 52]:

[pic 10]

По формуле Байеса [1, стр. 52] вычислим вероятность того, что служащий опоздал, т.к ехал на трамвае:

[pic 11]

1. Среди 6 Интернет-провайдеров в городе четыре предлагают бесплатный пакет телевидения. Для подключения нового дома к Интернету жилищная компания обзванивает Интернет-провайдеров в случайном порядке, пока не найдет провайдера с бесплатным телевизионным пакетом.

Составить закон распределения случайной величины – числа произведенных звонков.

Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения.

Решение:

1. Рассмотрим случайную величину ξ – число произведенных звонков. Очевидно, что такая случайная величина может принимать следующие возможные значения: 1, 2, 3.

Для составления закона распределения вычислим соответствующие возможным значениям вероятности.

Событие (ξ=1) означает, что жилищная компания совершила 1 звонок (то есть с первого раза нашла провайдера с бесплатным телевизионным пакетом). По классическому определению вероятности [1, стр.19]:

[pic 12]

Событие (ξ=2) соответствует тому, что жилищная компания совершила 2 звонка: сначала позвонили провайдеру без бесплатного пакета тв, а потом с бесплатным пакетом тв.  На основании теоремы умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38]

[pic 13]

Событие (ξ=3) соответствует тому, что жилищная компания совершила 3 звонка: первыми двумя попытками попалить провайдеры без бесплатного тв, а третьей попыткой провайдер с бесплатным тв.  На основании теоремы умножения вероятностей независимых событий [1, стр. 38], найдем вероятность этого события:

[pic 14]

Итак, запишем закон распределения в виде таблицы:

 [pic 17]

Проверим выполнение основного свойства закона распределения:

[pic 18]

2) Найдем числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, получим: