Контрольная работа по "Математике"

Вариант 8.

Задача 1.

Вероятность сбоя при получении денег в банкомате равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 обращений банкомат правильно сработает:

а)        не менее 4995 раз;

б)        не более 4997 раз.

Решение:

Пусть событие [pic 1] - из 5000 обращений банкомат правильно сработает не менее 4995 раз, то есть от 4995 до 5000 раз. Это означает, что сбоев будет от 0 до 5. Используем формулу Пуассона:

[pic 2],                [pic 3].

По условию задачи [pic 4], [pic 5], [pic 6]. Тогда искомая вероятность равна:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9].

Пусть событие [pic 10] - из 5000 обращений банкомат правильно сработает не более 4997 раз, то есть от 0 до 4997 раз. Противоположное событие [pic 11] - из 5000 обращений банкомат правильно сработает более 4997 раз, то есть от 4998 до 5000 раз. Это означает, что для события [pic 12] сбоев будет от 0 до 2. Поскольку события [pic 13] и [pic 14] являются противоположными, то сумма их вероятностей равна единице. Тогда искомая вероятность равна:

[pic 15]

[pic 16].

Задача 2.

В осветительную сеть участка автодороги было включено 400 новых электроламп. Каждая электролампа в течение года может перегореть с вероятностью 0,05. Оценить вероятность того, что в течение года из числа включенных в начале года электроламп придется заменить новыми:

а)        не менее 25 ламп;

б)        не более 30 ламп.

Решение:

Оценим вероятность того, что из 400 новых электроламп в течение года придется заменить новыми не менее 25. Используем неравенство Маркова в следующем виде:

[pic 17].

По условию задачи [pic 18], [pic 19]. Тогда получаем:

[pic 20].

Оценим вероятность того, что из 400 новых электроламп в течение года придется заменить не более 30. Используем неравенство Маркова в следующем виде:

[pic 21].

По условию задачи [pic 22], [pic 23]. Тогда получаем:

[pic 24].

Задача 3.

По данным страховых компаний некоторой страны известно, что продолжительность жизни человека есть случайная величина [pic 25] (лет), имеющая показательный закон распределения. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, если известно, что человек доживает до 75 лет с вероятностью 0,2. Построить схематично графики функции распределения и функции плотности распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что выбранный случайным образом новорожденный человек проживет:

а)        не более 60 лет;

б)        не менее 70 лет;

в)        от 50 до 80 лет.

Какова вероятность прожить до 70 лет клиенту страховой компании, если ему сейчас 50 лет?

Решение:

Как известно, функция плотности распределения [pic 26] и функция распределения [pic 27] случайной величины [pic 28], распределенной по показательному закону с параметром [pic 29], имеют вид:

[pic 30],                [pic 31].

По условию задачи вероятность того, что человек доживает до 75 лет, равна 0,2. Тогда получаем:

[pic 32],

[pic 33],                [pic 34],                [pic 35].

Тогда получаем:

[pic 36],                [pic 37],

[pic 38] - математическое ожидание,

[pic 39] - дисперсия,

[pic 40] - среднее квадратическое отклонение.

Графики функции распределения [pic 41] и функции плотности распределения [pic 42] имеют вид:

[pic 43]

Вычислим вероятность того, что случайно выбранный новорожденный человек проживет не более 60 лет:

[pic 44].

Вычислим вероятность того, что случайно выбранный новорожденный человек проживет не менее 70 лет: