Контрольная работа по "Математике"

Вариант 4

Задание 1. Решить симплекс-методом и выполнить графическую интерпретацию

-x_1+2x_2→max

{█(4x_1-x_2≤-3@x_1-x_2≤2@x_1+2x_2≤3@x_i≥0,i=1,2)┤

Решение:

Решим данную задачу симплекс-методом.

f(X)=0-(x_1-2x_2 )→max

{█(4x_1-x_2+x_3=-3@x_1-x_2+x_4=2@x_1+2x_2+x_5=3@x_i≥0,i=1,2)┤

x_(1-5)≥0.

Заполним первую симплекс-таблицу.

БП x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 Решение

x_3 4 ▭(-1) 1 0 0 -3

x_4 1 -1 0 1 0 2

x_5 1 2 0 0 1 3

f(X) 1 -2 0 0 0 0

Текущий план – псевдоплан (т.к. в столбце свободных членов содержится отрицательное число при x_3). Определим ведущие строку и столбец. x_3 – ведущая строка, x_2 – ведущий столбец. Разрешающий элемент - (-1). Вводим в базисный план переменную x_2, выводим x_3. Перейдем к следующей симплекс-таблице.

БП x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 Решение

x_2 -4 1 -1 0 0 3

x_4 -3 0 -1 1 0 5

x_5 9 0 2 0 1 -3

f(X) -7 0 -2 0 0 6

В столбце свободных членов содержится отрицательное число при x_5. При этом в соответствующей строке нет отрицательных элементов. Таким образом, задача неразрешима.

Выполним графическую интерпретацию задачи.

Из графика видим, что система ограничений противоречива.

Ответ: исходная задача не имеет решения.

Задание 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

Решение:

1. Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Обозначим через x_1 – количество изделий вида А;

x_2 – количество изделий вида Б;

x_3 – количество изделий вида В.

Для их производства потребуется:

4x_1+2x_2+x_3 единиц сырья I;

3x_1+x_2+2x_3 единиц сырья II;

x_1+2x_2+3x_3 единиц сырья III.

Так как потребление сырья не должно превышать их запасов, соответственно равных 180,210 и 244 единицам, то связь между потреблением сырья и их запасами выразим системой неравенств:

{█(4x_1+2x_2+x_3≤180;@3x_1+x_2+2x_3≤210;@x_1+2x_2+3x_3≤244;)┤

По смыслу задачи переменные: x_j≥0,j=(1,3) ̅.

Суммарная выручка F составит: F=10x_1+14x_2+12x_3→max⁡.

Итак, экономико-математическая модель задачи примет вид:

F=10x_1+14x_2+12x_3→max

{█(4x_1+2x_2+x_3≤180;@3x_1+x_2+2x_3≤210;@x_1+2x_2+3x_3≤244;)┤

x_j≥0,j=(1,3) ̅.

Решим задачу симплекс-методом. Преобразуем исходную модель. В ограничения типа "≤" добавим дополнительные переменные x_j,j=(4,6) ̅.

Модель задачи будет выглядеть так:

F=10x_1+14x_2+12x_3→max

{█(4x_1+2x_2+x_3+x_4=180;@3x_1+x_2+2x_3+x_5=210;@x_1+2x_2+3x_3+x_6=244;)┤

x_j≥0,j=(1,6)