Контрольная работа по "Математике"

Содержание

Задание № 1. Вычислить пределы        3

Задание № 2. Вычислить производные функций        4

Задание № 3. Решить задачи        6

Задание№ 4. Исследовать функцию и построить график        8

Задание № 5. Вычислить        11

Задание № 6. Выполнить чертеж и решить задачу        13

Задание № 7. Решить задачу        15

Вариант: 2

Задание № 1. Вычислить пределы

 .[pic 1]

Решение:

1) Найти приделы числителя и знаменателя:

;   .[pic 2][pic 3]

2) Вычислим придел, подставив значение x=5 в выражение:

;   5 – 5 = 0.[pic 4]

3) поскольку выражение  является неопределенностью, попробуем преобразовать выражение, используя формулу ;[pic 5][pic 6]

.[pic 7]

4) Сократим дробь на (x – 5):

.[pic 8]

5) Используя формулу , преобразуем выражение:[pic 9]

.[pic 10]

6) Вычислим предел, подставив значение (x=5) в выражение:

.[pic 11]

Ответ: .[pic 12]

Задание № 2. Вычислить производные функций

1.   .[pic 13]

Решение:

1) Используем правило дифференцирования :[pic 14]

 .[pic 15]

2) Используем правило дифференцирования    для :[pic 16][pic 17]

.[pic 18]

3) Используем правила дифференцирования   для ;[pic 19][pic 20]

.[pic 21]

4) Используем правило   для :[pic 22][pic 23]

 .[pic 24]

5) Используем правило   для :[pic 25][pic 26]

 .[pic 27]

6) Упростим выражение:

 .[pic 28]

Ответ:   .[pic 29]

2. .[pic 30]

Решение:

1) Используем правило дифференцирования :[pic 31]

.[pic 32]

2) Вычислим производную сложной функции :[pic 33]

.[pic 34]

3) Сделать обратную замену :[pic 35]

.[pic 36]

4) Упростить выражение:

.[pic 37]

Ответ:   .[pic 38]

Задание № 3. Решить задачи

1. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции  в точке .[pic 39][pic 40]

Решение:

.[pic 41]

1) Подставим в уравнение :[pic 42]

.[pic 43]

2) Вычислим производную , используя правило дифференцирования :[pic 44][pic 45]

.[pic 46]

3) Вычислим производную :[pic 47]

.[pic 48]

4) Вычислим по формуле  уравнение касательной:[pic 49]

.[pic 50]

Ответ: .[pic 51]

2. Тело, брошенное вверх, движется по закону: . Найти момент времени, когда тело достигнет наивысшей высоты.[pic 52]

Решение:

.[pic 53]

1) Найдем скорость тела, с помощью производной :[pic 54]

.[pic 55]

2) Найдем скорость в начальный момент:

;[pic 56]

;[pic 57]

;[pic 58]

;[pic 59]

40 м/с.

3) Найдем максимальную высоту броска:

;[pic 60]

.[pic 61]

Ответ: момент времени равен 4 м/с; максимальная высота равна 80м.

Задание№ 4. Исследовать функцию и построить график

.[pic 62]

Решение:

1) Область определения функции:

. [pic 63]

2) Находим корни:

.[pic 64]

3) Пересечения с осью ординат:

.[pic 65]

4) Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

;[pic 66]

;[pic 67]

;[pic 68]

;[pic 69]

;[pic 70]

.[pic 71]

Функция нечетная.

5) Находим интервалы возрастания и убывания функции:

.[pic 72]

Находим нули функции. Для этого приравняем производную к нулю:

;[pic 73]

;[pic 74]

;[pic 75]

;[pic 76]

;[pic 77]

.[pic 78]