Контрольная работа по "Математике"

Вариант 2

Задание1

Задача 1. Вычислить определитель заданной матрицы

[pic 1]

Ответ: -13.

Задача 2. Решить систему уравнений[pic 2]

Решение:

Решим по формулам Крамера.

Вычислим основной определитель системы:

[pic 3]

Так как Δ≠0, то данная система имеет единственное решение.

Вычислим вспомогательные определители:

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

По формулам Крамера:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Ответ: [pic 10]

[pic 11]

Задача 3. Решить однородную систему уравнений

[pic 12]

Решение:

Вычислим ранг матрицы системы

[pic 13]

[pic 14]

Получим две ненулевые строки => rang А = 2.

По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна и имеет бесконечно много решений.

В качестве базисного минора выберем минор наивысшего порядка  В него вошли коэффициенты при переменных х1 и х4. Значит, переменные х1 и х4 – базисные, а х2 и х3 – свободные.[pic 15]

Система с коэффициентами полученной матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

=>[pic 16]

[pic 17]

Таким образом, [pic 18]

Общее решение системы имеет вид:

[pic 19]

Ответ: [pic 20]

Задача 4. Найти общее решение системы уравнений:

[pic 21]

Решение:

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк, приведем ее к ступенчатому виду.

[pic 22]

Получим три ненулевые строки => ранг расширенной матрицы и матрицы системы равен 3, т.е. rangA = rangà = 3.

По теореме Кронекера-Капелли данная система совместна и имеет бесконечно много решений (rangA = rangà = 3

В качестве базисного минора выберем минор третьего порядка неравный нулю:  В него вошли коэффициенты при переменных х1, х2 и х3 => х1, х2 и х3 – базисные переменные, а х4 – свободная переменная.[pic 23]

Система с коэффициентами полученной матрицы эквивалентна данной и имеет вид:

  =>   [pic 24][pic 25]

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

    где С – const ().[pic 26][pic 27]

Ответ:.[pic 28]

Задача 5. Подтвердить, что система несовместима, опираясь

а) на формулы Крамера;

б) на метод Жордана-Гаусса.

[pic 29]

Решение:

а) Метод Крамера применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от  нуля.

Данная система уравнений  содержит три уравнения и 4 неизвестных. Следовательно, данная система несовместна и решить ее методом Крамера нельзя.

б) Преобразуем расширенную матрицу системы методом Жордана-Гаусса.

[pic 30]

Последняя строка последней матрицы соответствует не имеющему решения уравнению  => данная система несовместна.[pic 31]

Ответ: данная система несовместна.

Задача 6. Найти вектор b – линейную комбинацию векторов а1, а2, а3.

[pic 32]

[pic 33]

Решение:

.[pic 34]

Ответ: .[pic 35]

Задача 7. Даны векторы а1, а2, а3, показать, что заданная система векторов образует базис, и найти координаты вектора с в этом базисе.

[pic 36]

Решение:

Покажем, что данная система векторов образует базис. Запишем и вычислим определитель, составленный из координат векторов  .[pic 37]

[pic 38]

Так как Δ≠0, то данная система векторов образует базис.

Найдем координаты вектора  в базисе векторов .[pic 39][pic 40]

Согласно теореме о разложении вектора по базису, любой вектор в пространстве может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: .[pic 41]

Так как линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их одноименными координатами, то запишем полученное выражение в координатной форме:

[pic 42]

Решим полученную систему методом Жордана-Гаусса: