Контрольная работа по "Математике"

Контрольная работа

Задача №1

 Дано:

[pic 1]                       (1.1)

Решение

Система (1.1) в матричном виде:

[pic 2]

где

[pic 3],   [pic 4],   [pic 5]

Имеем:

[pic 6]   [pic 7]   

[pic 8]   [pic 9]

[pic 10]   [pic 11]

[pic 12]

где

[pic 13],   [pic 14]

[pic 15],   [pic 16]

Решение системы (1.1):

[pic 17]

Задача №2

 Дано:

Таблица №2.1

Число узлов [pic 21].

Решение

(1) Для числа узлов [pic 22] интерполяционный полином Лагранжа дается выражением [1]

[pic 23]

Подставляя численные значения [pic 24] и [pic 25] из табл.№6.1, получаем:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Рис.2.1

[pic 34]

так что

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]                                 (2.1)

Исходные данные (табл.№2.1) и график функции (2.1) представлены на рис.2.1.

(2) В случае аппроксимации табличных данных

[pic 39],   [pic 40]

функцией

[pic 41]

оценка параметров

[pic 42]

в рамках метода наименьших квадратов осуществляется путем решения следующей задачи:

[pic 43]

Необходимые условия минимума данного функционала:

[pic 44],   [pic 45]

или

[pic 46],   [pic 47]                        (2.2)

В случае полиномиальной аппроксимации 2-го порядка:

[pic 48]

и система уравнений (2.2) принимает вид:

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

или

Таблица №2.2

[pic 52]

[pic 53]

В нашем случае (см. табл.№2.2):

[pic 54]

Решение этой системы:

[pic 55],   [pic 56],   [pic 57]

так что

[pic 58]                             (2.3)

На рис.2.2 изображены исходные данные и график функции (2.3).

(3) На рис.2.3 представлены исходные данные и графики функций (2.1) и (2.3).

[pic 59]

Рис.2.2

[pic 60]

Рис.2.3

Задача №3

Дано:

[pic 61]                                              (3.1)

[pic 62],   [pic 63]

Решение

В рамках метода трапеций [1] приближенное значение интеграла

[pic 64]                                                (3.2)

дается выражением

[pic 65]                             (3.3)

где равномерная сетка

[pic 66],   [pic 67],   [pic 68],   [pic 69]

и [pic 70] – число отрезков сетки. В нашем случае:

[pic 71],   [pic 72]

В свою очередь, в рамках метода Симпсона [1] приближенное значение интеграла (3.2) определяется формулой

[pic 73]             (3.4)

где [pic 74]. В нашем случае:

[pic 75],   [pic 76],   [pic 77]

В табл.№3.1 и №3.2 представлены результаты расчетов согласно приведенным выше формулам (3.3) и (3.4). Согласно табл.№3.1 и №3.2, искомые значения интеграла функции (3.1) на заданном отрезке

Таблица №3.1. Формула трапеций

Таблица №3.2. Формула Симпсона