Контрольная работа по "Математике"

Вариант 9

9.1. Найти  максимум целевой функции L =6x+y при следующих ограничениях:[pic 1]

Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):

ДУ: Найти минимум целевой функции L=x-y при тех же ограничениях

Решение

Необходимо найти максимальное значение целевой функции

L = 6x+y →max, при системе ограничений:

[pic 2]

Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Построим уравнение x-2y = 3 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим y = -1.5. Для нахождения второй точки приравниваем y = 0. Находим x = 3. Соединяем точку (0;-1.5) с (3;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 • 0 - 2 • 0 - 3 ≤ 0, т.е.

x-2y - 3≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение 8x+13y = 104 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x = 0. Находим y = 8. Для нахождения второй точки приравниваем y = 0. Находим x = 13. Соединяем точку (0;8) с (13;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

8 • 0 + 13 • 0 - 104 ≤ 0, т.е. 8x+13y - 104≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

Построим уравнение x = 5. Эта прямая проходит через точку x = 5 параллельно оси OY. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

1 • 0 - 5 ≤ 0, т.е. x - 5≤ 0 в полуплоскости левее прямой.

Построим уравнение y = 2.5. Эта прямая проходит через точку y = 2.5 параллельно оси OX. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:

1 • 0 - 2.5 ≤ 0, т.е. y - 2.5≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.

[pic 3]

или

[pic 4]

Шаг №2. Границы области допустимых решений.

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

[pic 5]

Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи L = 6x+y → max. 

Построим прямую, отвечающую значению функции L = 6x+y = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации L(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (6;1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

[pic 6]

Прямая L(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

[pic 7]

Решив систему уравнений, получим: x = 5, y = 2.5

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

L(X) = 6*5 + 1*2.5 = 32,5

Аналогично будем искать минимум целевой функции L=x-у.

Рассмотрим целевую функцию задачи L = x-y → min. 

Построим прямую, отвечающую значению функции L = x-y = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации L(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1;-1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

[pic 8]

Прямая L(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (4) и (6), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

[pic 9]

Решив систему уравнений, получим: x = 0, y = 2.5

Откуда найдем минимальное значение целевой функции:

L(X) = 1*0 - 1*2.5 = -2,5

9.2.Швейная мастерская изготавливает простые и утепленные куртки и использует три вида ткани. На производство одной утепленной куртки требуется ткани первого вида на 11000 руб, второго на 13000 руб и третьего на 3000 руб, а на производство простой куртки – соответственно на 9000 руб, 8000 руб и 4000 руб. На плановый период закуплено ткани первого вида на 99000 руб, второго вида – 104000 руб. При производстве изделий, из соображений рентабельности всего производства, необходимо ткани третьего вида не менее чем на 12000 руб. Реализация одной утепленной куртки дает предприятию 50000 руб прибыли, а реализация простой куртки – 40000 руб прибыли. Составить план производства курток, максимизирующий общую прибыль предприятия при полной реализации произведенной продукции.