Контрольная работа по "Математике"

Задание 1. Найти неопределенные интегралы (в результаты в случаях а), б), в) проверить дифференцированием).

1.23.  а) [pic 1] б) [pic 2] в) [pic 3] 

г) [pic 4] д) [pic 5]

Решение:

[pic 6]

Проверка:

[pic 7]

б) [pic 8] 

Дважды воспользуемся формулой интегрирования по частям: [pic 9]

[pic 10]Проверка:

[pic 11]

в) [pic 12] 

Занесем под знак дифференциала функцию [pic 13] и воспользуемся свойствами дифференциала, получим: [pic 14]

Тогда:

[pic 15]

Проверка:

[pic 16]

г) [pic 17] 

Замена: [pic 18]

тогда

[pic 19]

Вернемся к исходной переменной:

[pic 20]

д) [pic 21]

Так как степень числителя и знаменателя отличается на единицу, то выделим в числителе подинтегральной функции слагаемое, равное производной знаменателя.

[pic 22]

[pic 23]

Тогда:

[pic 24]

где [pic 25]

Вычислим [pic 26] и [pic 27]:

[pic 28]

[pic 29]

Следовательно:

[pic 30]

Ответ:

[pic 31] [pic 32] [pic 33]

[pic 34] [pic 35]

Задание 2. Вычислить определенный интеграл.

2.23.  [pic 36]

Решение:

Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле:

[pic 37]

где [pic 38]

[pic 39]

Ответ: 0,58779.

Задание 3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

3.23.  [pic 40]

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно [pic 41].

Решение будем искать в виде произведения двух функции: [pic 42], где [pic 43] и [pic 44] – неизвестные функции от переменной [pic 45]. Тогда [pic 46]

Подставив [pic 47] и [pic 48] в исходное уравнение, получим

[pic 49]

Функцию [pic 50] найдем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю:

[pic 51]

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, получим частное решение уравнения:

[pic 52]

Подставим найденную функцию в уравнение (1):

[pic 53]

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решив его, получим общее решение уравнения:

[pic 54]

Тогда общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

[pic 55].

Ответ: [pic 56] – общее решение.

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

4.23. [pic 57]

Решение:

Общее решение исходного дифференциального уравнения будем искать в виде:

[pic 58]

где [pic 59] – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, [pic 60] – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: [pic 61]

Составим и решим характеристическое уравнение: [pic 62] [pic 63]

Общее решение имеет вид: [pic 64] где [pic 65]

Рассмотрим правую часть исходного уравнения: [pic 66]

Значит частное решение [pic 67] будет иметь вид: [pic 68] – неизвестные коэффициенты.

Вычислим [pic 69], и подставим их в неоднородное уравнение:

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

Таким образом: [pic 73]

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

[pic 74]