Контрольная работа по "Математике"

Примеры решения контрольной работы

Задание 1 (тут порядок подпунктов немного от твоих отличается, но  в целом задание совпадает.)

1. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найдите:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и  их угловые коэффициенты;

3) уравнения медиан, проведенные из вершин А и В, и точку пересечения медиан;

4) угол А в радианах с точностью до двух знаков;

5) Уравнение высоты СТ, проведенной из вершины С, и длину этой высоты.

А(-4, 6)    В(8, -10)   С (11, 11)

Решение.

1. Найдем нужное расстояние АВ по формуле:

 [pic 1].

1. Уравнение стороны АС: [pic 2] или 5(х+4)=15(у-6) или

5х-15у-110=0 угловой коэффициент [pic 3]

Уравнение стороны АВ: [pic 4] или -16(х+4)=12(у-6) или

-16х-12у+8=0 угловой коэффициент [pic 5]

3)  Найдём середину ВС. Точка О имеет координаты:

([pic 6];[pic 7])=(9,5; 0,5). Значит, уравнение линии АО имеет вид: [pic 8] или [pic 9].

 Тогда  [pic 10] – уравнение медианы АО.

Найдём середину АС. Точка К имеет координаты:

([pic 11];[pic 12])=(3,5; 8,5). Значит, уравнение линии ВК имеет вид: [pic 13] или [pic 14].

 Тогда  [pic 15] – уравнение медианы ВК.

Найдем точку пересечения медиан, для этого решим систему :

[pic 16]  F(5; [pic 17]) – точка пересечения медиан

4) Для нахождения угла А найдем координаты векторов [pic 18], [pic 19]

[pic 20]=(8+4;-10-6)=(12;-16)

[pic 21]=(11+4;11-6)=(15;5)

[pic 22][pic 23]1,35

5) Прямая, проходящая через точку С(x1,y1) и перпендикулярная к прямой Ax+By+C=0, представляется    уравнением A(y-y1) – B(x-x1) = 0.

В нашем случае получим: -16(y-11) +12(x-11) = 0 или 12x-16y+44=0 – уравнение высоты СТ, проведенной к стороне АВ.

Расстояние от т.С до прямой АВ

[pic 24]

Вариант 6

1. Даны вершины [pic 25] треугольника. Найти:

      1) длину стороны [pic 26];

     2) внутренний угол [pic 27] в радианах с точностью до 0,001;

     3) координаты точки пересечения медиан;

     4) уравнение медианы, проведенной через вершину [pic 28];

     5) уравнение высоты, проведенной через вершину [pic 29];

     6) координаты точки пересечения высот треугольника;

     7) длину высоты, опущенной из вершины [pic 30];

     8) сделать чертёж.

Решение

1).  Найдем нужное длину АB по формуле:

d = [pic 31] = [pic 32].

2).   Для нахождения внутреннего угла А необходимо знать уравнения прямых, образующих этот угол.

Найдем уравнение прямой AC. [pic 33] или 4(x-1)=3(y-1) или

4x-3y-1=0.

Найдем уравнение прямой АВ. [pic 34] или 3(x-1)=6(y-1) или

3х-6y+3=0.

Тогда         tg θ = [pic 35][pic 36] = [pic 37] ;

 тогда θ [pic 38]-0,46 рад.

3).    Координаты точки пересечения медиан находим по формуле:

[pic 39],     [pic 40]

Тогда координаты точки пересечения медиан М(4; [pic 41]).

4) Для нахождения медианы, найдем середину стороны АВ: Точка К имеет координаты: ([pic 42];[pic 43]) = (4; 2,5). Значит уравнение линии СК имеет вид:

[pic 44] или -2,5(х-4)=0(у-5) или х=4  – уравнение медианы CК.

5) Найдем уравнение высоты ВD. Для этого воспользуемся уравнением стороны АС.

         Прямая, проходящая через точку M(x1,y1) и перпендикулярная к прямой Ax+By+C=0, представляется   уравнением    A(y-y1) – B(x-x1) = 0.

В нашем случае получим: 4(y-4)+3(x-7)=0 или 3x+4y-37 = 0 – уравнение высоты ВD.

6) Найдем уравнение высоты СН. Для этого воспользуемся уравнением стороны АВ. В нашем случае получим: 3(y-5)+6(x-4)=0 или 6x+3y-39=0 – уравнение высоты СН.