Контрольная работа по "Математике"

Вариант №5

Тема №1. Алгебра матриц.

Задание №1

Вычислить [pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Решение:

1)

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

2)

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Задание №2

Найти значение матричного многочлена [pic 24]

[pic 25]

Решение:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Тема №2. Теория определителей.

Задание №3

Вычислить определители матриц:

[pic 32]

Решение:

1) Вычислим определитель, разложив по третьей строке:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

2) Вычислим определитель, получив предварительно нули в первой строке:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Тема №3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

Задание №4

Методом Гаусса - Жордана решить системы линейных уравнений. Определить класс системы (совместная / несовместная, определенная / неопределенная); для неопределенной системы указать размерность многообразия решений.

[pic 45]

[pic 46]

Решение:

1) Для исследования совместности системы составим основную и расширенную матрицы системы и найдем их ранг.

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу неизвестных, значит система имеет единственное решение. Продолжим преобразования:

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Восстановим систему по полученной матрице:

[pic 57]

2) Для исследования совместности системы составим основную и расширенную матрицы системы и найдем их ранг.

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

Фундаментальная система решений состоит из  решений.[pic 63]

Пусть базисными неизвестными являются переменные: , свободными: [pic 64][pic 65]

Выразим базисные переменные через свободные:

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Полагая  запишем общее решение системы уравнений:[pic 69]

[pic 70]

Тема №4. Теория пределов.

Задание №5

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

Решение:

1)

[pic 77]

Получили неопределенность. Разделим числитель и знаменатель на [pic 78]

[pic 79]

2)

[pic 80]

Имеем неопределенность. Разделим числитель и знаменатель на [pic 81]

[pic 82]

3)

[pic 83]

4)

[pic 84]

Получили неопределенность. Разложим числитель и знаменатель на множители:

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

5)

[pic 91]

Получили неопределенность. Преобразованиями приведем предел к первому замечательному:

[pic 92]

[pic 93]

6)

[pic 94]

Получили неопределенность. Преобразованиями приведем данный предел ко второму замечательному:

[pic 95]

[pic 96]

Тема №5. Дифференциальное исчисление.

Задание №6

Найти производные данных функций:

[pic 97]

[pic 98]

Решение:

1) Для нахождения производной используем правило производной произведения, а  также, значения табличных производных:

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

2) Для нахождения производной используем правило производной произведения, а  также, значения табличных производных:

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

Задание №7

С помощью правила Лопиталя найти пределы:

[pic 107]

[pic 108]

Решение:

1)

[pic 109]

Так как получили такого вида неопределенность, то можно применить правило Лопиталя:

[pic 110]

2)

[pic 111]

Так как получили такого вида неопределенность, то можно применить правило Лопиталя:

[pic 112]

[pic 113]

Задание №8

Дана функция: