Контрольная работа по "Математике"

170. Исследовать сходимость ряда:

б) [pic 1]

Решение:

Сравним данный ряд с рядом [pic 2], который является рядом Дирихле при [pic 3]. Такой ряд сходится.

Используем второй признак сравнения и замечательный предел: [pic 4] при [pic 5].

[pic 6]

По второму признаку из сходимости ряда Дирихле следует сходимость исходного ряда.

180. Исследовать на абсолютную и условную сходимость.

[pic 7]

Решение: Если [pic 8], то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.

Пусть [pic 9]. Исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд [pic 10] из абсолютных величин членов исходного ряда. Определим порядок убывания его общего члена. Так как [pic 11] при [pic 12], то [pic 13] при [pic 14]. Следовательно, по признаку сравнения ряд сходится, если [pic 15], и расходится, если [pic 16]. Значит, исходный ряд сходится абсолютно при [pic 17].

Исходный ряд является знакочередующимся. Так как при [pic 18] [pic 19].

[pic 20] при [pic 21] то последовательность [pic 22] монотонно стремится к нулю. Значит, по теореме Лейбница ряд сходится, если [pic 23]. Так как при [pic 24] ряд не сходится абсолютно, то при [pic 25] он сходится условно.

Следовательно, ряд расходится при [pic 26], сходится условно, если [pic 27], и сходится абсолютно [pic 28]

200. Исследовать на равномерную сходимость.

а) [pic 29]б) [pic 30]

Решение:

а) [pic 31]

Найдем предельную функцию: [pic 32]для[pic 33].

Тогда [pic 34]

Найдем[pic 35]

Следовательно, при каждом фиксированном [pic 36] функция [pic 37] монотонно убывает на отрезке [0, 10] и, так как непрерывна на этом отрезке, то принимает наибольшее значение в точке 0, т.е.[pic 38]

Находим[pic 39]

Следовательно[pic 40]0.[pic 41]

б) [pic 42]

Находим предельную функцию:[pic 43]

Вычислим: [pic 44]

Для этого при каждом[pic 45]исследуем функцию [pic 46] на глобальный экстремум на [pic 47]

Поскольку:[pic 48]

[pic 49] – стационарные точки.

Так как[pic 50]

и [pic 51]

Отсюда вытекает, что сходимость последовательности неравномерная.

210. Исследовать на равномерную сходимость.

а) [pic 52]  б) [pic 53]   в) [pic 54]

Решение:

а) [pic 55]

Найдем частичную сумму ряда:

[pic 56]

Вычислим сумму ряда:

[pic 57]

Вычислим остаток ряда: [pic 58]

Так как функция[pic 59]монотонно убывает на [pic 60], то [pic 61]

Поскольку [pic 62]то остаток ряда сходится к нулю равномерно, а следовательно, ряд сходится к своей сумме тоже равномерно на [pic 63].

б) [pic 64]

Применим признак Лейбница равномерной сходимости:

1) [pic 65]при всех [pic 66]и всех[pic 67];

2) последовательность [pic 68]при каждом фиксированном[pic 69] монотонна;

3) поскольку [pic 70] то[pic 71]0.[pic 72]

Условия признака Лейбница выполнены, следовательно, [pic 73]0.[pic 74]

в) [pic 75]

Данный ряд знакочередующийся, модуль его n-го члена равен: [pic 76] стремится к нулю при [pic 77] ([pic 78]) и монотонно убывает при [pic 79].

Отсюда по признаку Лейбница следует, что данный ряд сходится при [pic 80].

Рассмотрим остаток ряда: [pic 81],

а [pic 82] при [pic 83], значит [pic 84]  0[pic 85]

220.[pic 86] исследовать на непрерывность на [pic 87]

Решение:

[pic 88] при всех [pic 89], ряд сходится равномерно на [pic 90] по признаку Вейерштрасса.