Контрольная работа по "Математике"

ЗАДАЧА 1

2.   Из колоды в 36 карт наудачу выбирают 6 карт. Какова вероятность, что: а) все отобранные карты черной масти; б) четыре из них будут черной масти; в) не менее двух и не более четырех будут черной масти?

Решение:

Классическое определение вероятности события: Р(А) = [pic 1], где m - общее число элементарных событий, n - число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

Пусть В - событие, состоящее в том, что очерк достали в первый раз.

Учитывая, что Р(В) = [pic 2] и что в нашем случае m = 7+4 =11, n = 4, получаем Р(В) = [pic 3] = [pic 4].

Пусть С - событие, состоящее в том, что карты чёрной масти достали во второй раз (при условии, что и в первый раз достали красные). Вычислим вероятность события С. РВ(С) = [pic 5], где m = 11 - 1 = 10, т.к. чёрную масть достали раньше, n = 4 - 1 = 3, т.к. одну карту достали в  первый раз. Таким образом, РВ(С) = [pic 6] = [pic 7].

Пусть D - событие, состоящее в том, что очерк достали оба раза.

Тогда D = B × C.

Учитывая, что события B и C зависимые, получаем:

Р(D) = P(B × C) = P(B) × РВ(С) = [pic 8] × [pic 9] = [pic 10].

ЗАДАЧА 2

8.  В каждом испытании некоторое событие А происходит с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что а) событие А в 8 испытаниях наступит ровно 3 раза; б) при 120 испытания наступит ровно 100 раз; в) при 120 испытания наступит от 90 до 110 раз.

Решение:

Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний в одинаковых условиях (формула Бернулли)

Pn(m)=Cmnpm(1−q)n−m=n!m!(n−m)!pm(1−q)n−m

а) ровно m раз;

Найдем вероятность по формуле Бернулли при  р=0,5=>q=1−p=0,5, n=4, m=2. Подставляю в формулу

P4(2)=C240,52(1−0,5)4−2=4!2!(4−2)!0,52(1−0,5)4−2=6∗0,54=0,375

Ответ: вероятность того, что событие A наступит ровно m=2 равна p=0,375

б) не менее m раз;

это означает, что событие A должно наступить m раз и более. В данном случае 2,3 или 4 раза. Все события независимые (вероятность появления события A 2 раза ни как не влияет на вероятность появления события A - 3 раза и наоборот и т.д.). Т.е. для нахождения вероятности наступления события A не менее m раз будем применять формулу сложения вероятностей

P=P4(2)+P4(3)+P4(4)

Найдем каждую вероятность по формуле Бернулли

P4(2)=C240,52(1−0,5)4−2=0,375

P4(3)=C340,53(1−0,5)4−3=4!3!(4−3)!0,53(1−0,5)4−3=4∗0,54=0,25

P4(4)=C440,54(1−0,5)4−4=4!4!(4−4)!0,54(1−0,5)4−4=1∗0,54=0,0625

Итоговая вероятность будет равна

P=P4(2)+P4(3)+P4(4)=0,375+0,25+0,0625=0,6875

Ответ: вероятность того, что событие A наступит не менее m=2 раз равна p=0,6875

в) не более m раз;

это означает, что событие A должно наступить не более m раз, в данном случае 1 или 2 раза. Все события независимые , для нахождения вероятности наступления события A не более m раз будем применять формулу сложения вероятностей