Контрольная работа по "Математике"
Автор: Короленко Екатерина • Декабрь 17, 2018 • Контрольная работа • 545 Слов (3 Страниц) • 223 Просмотры
9. Найти решение задачи Коши для линейного уравнения с частными производными первого порядка.
[pic 1]
Решение: Составим систему уравнений характеристик:
[pic 2]
где [pic 3]первый интеграл системы.
Из уравнения [pic 4]интегрируя получим
[pic 5] второй общий интеграл:
[pic 6]
Общий интеграл исходного уравнения будет:
[pic 7]или [pic 8]или [pic 9]
где [pic 10]произвольная дифференцируемая функция.
Найдем частное решение, удовлетворяющее условию: [pic 11]
[pic 12]делаем замену
[pic 13]получаем функцию [pic 14]искомое частное решение: [pic 15].
Ответ: [pic 16]
19. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
[pic 17]
Решение: Определим коэффициенты [pic 18]:
А=1, В= -1, С=1.
Вычислим выражение [pic 19]:
[pic 20].
[pic 21] уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
Запишем уравнение характеристик:
[pic 22] .
Решим уравнение как квадратное уравнение относительно dy:
[pic 23];
[pic 24];
Общий интеграл имеет вид:
[pic 25]
Введём характеристические переменные:
[pic 26]
Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Найдем сначала
[pic 27]
Используя формулы
[pic 28]
[pic 29],
[pic 30],
[pic 31],
[pic 32],
[pic 33]
получим:
[pic 34]
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения:
[pic 35]при соответствующих производных.
Собирая подобные слагаемые, получим:
[pic 36]
Или [pic 37]
Теперь с помощью замены неизвестной функции
[pic 38]упростим группу младших производных.
Пересчитаем производные, входящие в уравнение[pic 39], используя формулы:
[pic 40]
[pic 41]
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения [pic 42]. Собирая подобные слагаемые, получим
[pic 43]
Далее приравняем к нулю коэффициенты при [pic 44]и [pic 45]
[pic 46]
[pic 47].
Откуда [pic 48]
Подставив эти значения параметров в уравнение и разделив его на [pic 49], придем к уравнению:
[pic 50]
Ответ. Уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид:
[pic 51]
где [pic 52][pic 53]
29. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения методом Даламбера. Найти положения точек колеблющейся струны и сделать чертеж в момент времени [pic 54]и [pic 55].
[pic 56]
...