Контрольная работа по "Математике"

9. Найти решение задачи Коши для линейного уравнения с частными производными первого порядка.

[pic 1]

Решение: Составим систему уравнений характеристик:

[pic 2]

где [pic 3]первый интеграл системы.

Из уравнения [pic 4]интегрируя получим

[pic 5] второй общий интеграл:

[pic 6]

Общий интеграл исходного уравнения будет:

[pic 7]или [pic 8]или [pic 9]

где [pic 10]произвольная дифференцируемая функция.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию: [pic 11]

[pic 12]делаем замену

[pic 13]получаем функцию [pic 14]искомое частное решение: [pic 15].

Ответ: [pic 16]

19. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

[pic 17]

Решение: Определим коэффициенты [pic 18]:

А=1,   В= -1,  С=1.

Вычислим выражение [pic 19]:

[pic 20].

[pic 21] уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

Запишем уравнение характеристик:

[pic 22] .

Решим уравнение как квадратное уравнение относительно dy:                                            

[pic 23];

[pic 24];

Общий интеграл имеет вид:

[pic 25]

Введём характеристические переменные:

[pic 26]

Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Найдем сначала

[pic 27]

Используя формулы    

[pic 28]

[pic 29],

[pic 30],

[pic 31],

[pic 32],

[pic 33]

 получим:

[pic 34]

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения:

[pic 35]при соответствующих производных.

Собирая подобные слагаемые, получим:

[pic 36]

Или [pic 37]

Теперь с помощью замены неизвестной функции

[pic 38]упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение[pic 39], используя формулы:

[pic 40]

[pic 41]

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения [pic 42]. Собирая подобные слагаемые, получим

[pic 43]

Далее приравняем к нулю коэффициенты при [pic 44]и [pic 45]

[pic 46]

[pic 47].

Откуда [pic 48]

Подставив эти значения параметров в уравнение и разделив его на [pic 49], придем к уравнению:

[pic 50]

Ответ. Уравнение является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид:

[pic 51]

где [pic 52][pic 53]

29. Найти решение задачи Коши для волнового уравнения методом Даламбера. Найти положения точек колеблющейся струны и сделать чертеж в момент времени [pic 54]и [pic 55].

[pic 56]