Комбинаторика. Теория вероятности
Автор: vvvvital80 • Январь 25, 2024 • Лекция • 1,610 Слов (7 Страниц) • 42 Просмотры
Комбинаторика. Теория вероятности.
Комбинаторика
Комбинаторика изучает возможные варианты расположения объектов из конечного множества объектов. Существует 2 основных правила:
- правило суммы
Если объект А выбран m-способами, а объект В выбран n-способами, то выбор объекта А или В может быть осуществлен m+n-способами (дизъюнкция).
- правило произведения
Если объект А выбран m-способами, а объект В выбран n-способами, то выбор объекта А и В может быть осуществлен m[pic 1]n-способами (конъюнкция).
Задача 1
Сколько различных двузначных чисел от 25 до 73 включительно можно составить из чётных и нечётных цифр по отдельности и в целом. Необходимо перечислить получаемые числа.
Решение
1) ЧЦ ЧЦ
Десятки единицы
2,4,6 2,4,6,8
3 и 4 - варианты (количество)
С1=3[pic 2]4=12 чисел
22…68
22,24-вычёркиваем, остаётся 10 чисел
10 чисел=26,28,42,44,46,48,62,64,66,68
2) НЦ НЦ
Десятки единицы
3,5,7 1,3,5,7,9
3 и 5
С2=3[pic 3]5=15
31…79
75,77,79-вычёркиваем
12 чисел=31,33,35,37,39,51,53,55,57,59,71,73
3) 10+12=22 числа
Задача 2
В автосалоне имеется 8 различных автомобилей. Сколькими способами можно реализовать следующие действия:
а) выставить для продажи не менее 5 автомобилей
б) выбрать для продажи от 2 до 6 автомобилей
в) выбрать для продажи не более 4 автомобилей
Решение
а) С=С5+С6+С7+С8
С5=[pic 4]
С6=[pic 5]
С7=[pic 6]
С8=[pic 7]
С=С5+С6+С7+С8=6720+20160+40320+40320=107520
б) С=С2+С3+С4+С5+С6
С2=[pic 8]
С3=[pic 9]
С4=[pic 10]
С5=[pic 11]
С6=[pic 12]
С=С2+С3+С4+С5+С6=56+336+1680+6720+20160=28952
в) С=С1+С2+С3+С4
С1=8
С2=[pic 13]
С3=[pic 14]
С4=[pic 15]
С=С1+С2+С3+С4=8+56+336+1680=2080
В комбинаторике широко используется понятие факториала числа, т.е. последовательное произведение натуральных чисел от 1 до заданного числа.
5!=[pic 16]
С точки зрения комбинаторики, факториал числа означает последовательный выбор всех предметов из конечного множества предметов.
[pic 17]
При рассмотрении выбора предметов из конечного множества предметов используются 2 признака:
- по количеству выбираемых предметов и учёту порядка их расположения относительно друг друга.
- Наличие или отсутствие повторений предметов в выборках.
Возможны следующие варианты:
- Перестановки предметов - составление комбинаций из всех предметов сразу,которые меняются местами друг с другом. Для выборок предметов без повторений используется формула факториала [pic 18]
При наличии повторений предметов в выборках используется формула [pic 19]
Примеры:
Квадрат круг треугольник
[pic 20]
3!= [pic 21]
[pic 22]
- квадрат круг треугольник
- квадрат треугольник круг
- круг квадрат треугольник
- круг треугольник квадрат
- треугольник квадрат круг
- треугольник круг квадрат
квадрат круг круг треугольник треугольник
[pic 23]
[pic 24]
Квадрат круг круг треугольник треугольник
Квадрат треугольник круг треугольник круг
…………………………………………………
И т.д.
Правило сокращения факториалов:
[pic 25]
- Размещение - составление комбинаций не из всех предметов, с учётом порядка их расположения в выборках. При отсутствии повторения предметов в выборках используется формула:
[pic 26]
При наличии повторов в выборках используется следующая формула:
[pic 27]
В данном случае возможны 2 варианта значений m и n:
1) m<n. В данном случае известно общее количество предметов
2) m>n. В данном случае известно количество видов предметов, а количество предметов для каждого вида не учитывается
Примеры:
Квадрат круг треугольник
[pic 28]
Квадрат круг
Круг квадрат
Круг треугольник
Треугольник круг
Квадрат треугольник
...