Задачи по "Математическому анализу"

Вариант 12.

Задание 1.

Вычислить пределы функций

Решение:

а) [pic 1];        б) [pic 2];      в) [pic 3]

а) [pic 4]=[pic 5]

б) [pic 6]=[pic 7]

в) [pic 8]=[pic 9]

Задание 2.

Найти производные функций

а) [pic 10],                        б) [pic 11],

в) [pic 12],                                г) [pic 13]

Решение:

а) [pic 14];

y’=4(2x4-3-1)3*(8x3-)[pic 15][pic 16]

б) [pic 17];

y’=[pic 18]

в) [pic 19];

y’=  *ln S*.[pic 20][pic 21]

г) [pic 22];

y’=[pic 23]

Задание 3.

Исследовать функцию  [pic 24]    методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение:

Y=           D=IR           [pic 25][pic 26]

Y’=[pic 27]

Y’=01=2;х2=-4; наклон графика у(-4)=-8;у(2)=4;[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

Y=0x1,2[pic 31][pic 32]

У(0)=[pic 33]

  [pic 34]

Задание 4.

Найти неопределенные интегралы:

а) способом подстановки (методом замены переменного):   [pic 35]

б) применяя метод интегрирования по частям:   [pic 36]

Решение:

а) [pic 37]=[pic 38]

б) [pic 39]==[pic 40][pic 41]

Задание 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами  [pic 42]  и   [pic 43]

Решение:

У’=[pic 44]

У’=[pic 45]

у1-y2=x2+4x+1=0

Д=16-4=12=(2)2[pic 46]

X2=-2-[pic 47]

Х2=-2+[pic 48]

У1=(-1)=                     y21 на [X1;X2][pic 51][pic 49][pic 50]

У1 =(-1)=[pic 52]

S=2(x12-x22)+x2-x2=1-x2)(x12+x2x1+x22)+2(x1-x2)(x2+x2)+x1-x2=-*(7-4+1+7+4)+2(-2)(-4)-2=-S*2+16-2=4.[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Ответ:4[pic 64]

Задание 6.

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

[pic 65]

Решение:

[pic 66]     [pic 67]

=[pic 68][pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

Задание 7.

Найти частное решение (частный интеграл) уравнения