Задачи по "Линейной алгебре и математическому анализу"
Автор: Michael5555 • Июль 1, 2024 • Задача • 837 Слов (4 Страниц) • 50 Просмотры
Задание I. По координатам вершин пирамиды A1(10,6,6), A2(-2,8,2), A3(6,8,9), A4(7,10,3) найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Решение:
- используем формулу: [pic 1]
.[pic 2]
- для нахождения угла используем скалярное произведение векторов:
[pic 3]
[pic 4]
[pic 5]
[pic 6]
[pic 7]
- используем формулу: [pic 8]
[pic 9]
Найдем нормаль к плоскости А1А2А3:
[pic 10]
[pic 11]
- площадь грани найдем через векторное произведение: ; .[pic 12][pic 13]
- объем пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:
[pic 14]
[pic 15]
. [pic 16]
- уравнение прямой: [pic 17]
[pic 18]
- составим уравнение плоскости по точке A1, принадлежащей плоскости, и вектору нормали плоскости:
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
– уравнение плоскости А1А2А3.[pic 22]
- уравнение высоты составим по точке, принадлежащей ей, и по вектору нормали плоскости:
[pic 23]
[pic 24]
Задание II. Даны вершины четырехугольника A(0;6), B(7;12), C(6;2), D(2;2). Найти точку пересечения его диагоналей.
Решение:
Составим уравнения диагоналей AC и BD как прямых и найдем точку их пересечения.
- уравнение прямой AC.[pic 25]
- уравнение прямой BD. [pic 26]
[pic 27]
(3;4) – точка пересечения диагоналей.
Задание III. Решить систему линейных уравнений, используя формулы Крамера: [pic 28]
Решение:
[pic 29]
...