Лекции по "Теории вероятности"

1.Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі. Біноміальний розподіл. Найвірогідніше число успіхів та його ймовірність

Схема Бернуллі – це послідовність незалежних дослідів з постійною ймовірністю успіху в одному досліді. При цьому можливі тільки два результати (успіх або не успіх): орел або решітка, хлопчик або дівчина, позитивна відповідь на ВІЛ-тест або негативна.

Теореми про повторення дослідів

Нагадаємо, що досліди є незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату досліду не залежить від того, які результати мали інші досліди.

Незалежні досліди можуть проводитись як в однакових умовах, так і в різних. У першому випадку ймовірність появи деякої події А в усіх дослідах однакова, у другому випадку вона змінюється від досліду до досліду.

Часткова теорема Бернуллі

Якщо проводиться n незалежних дослідів в однакових умовах у кожному з яких ймовірність появи події A постійна і дорівнює p, де [pic 1] то ймовірність того, що подія A настане рівно m разів може бути обчислена за формулою Бернуллі:

[pic 2]

де                                                 [pic 3]

Ця формула виражає так званий біноміальний закон розподілу ймовірностей.

Ймовірність появи події А хоча б один раз у n проведених дослідах незалежних дослідах в однакових умовах визначається за формулою:

[pic 4],

де q – ймовірність не появи події А в одному досліді.

У ряді практичних задач потрібно визначити кількість успіхів, що має найбільшу ймовірність та ймовірність такої кількості успіхів. Кількість успіхів що має найбільшу ймовірність визначаємо так:

[pic 5]

При визначенні найімовірнішого числа можуть бути такі випадки:

а) величина [pic 6] число дробове; тоді існує лише одне найімовірніше число [pic 7];

б) [pic 8] - ціле число; тоді існує два найімовірніших числа [pic 9] і [pic 10]

в) [pic 11]- ціле число; тоді найімовірніше число [pic 12].

Приклад 4.1.

Ймовірність того, що яблуко, взяте навмання з ящика, буде стандартним дорівнює 0,8. Для перевірки взято 5 яблук. Визначити ймовірність того, що:

1) 3 яблука буде стандартних;

2) хоча б одне яблуко буде стандартне;

3) більше 3-ох будуть стандартними.

Розв’язання:

1. за частковою теоремою Бернуллі:

[pic 13],

де [pic 14].

2) [pic 15] .

3) Подія В полягає в тому, що буде більше 3-ох яблук стандартних, тобто або 4 або 5. Події попарно несумісні, тому за теоремою ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей появи складових подій. Маємо:

[pic 16]

Приклад 4.2.

Знайти ймовірність того, що з 10 студентів екзамен на позитивну оцінку здадуть двоє, якщо ймовірність здати для кожного однакова – 0,8 і ймовірності результатів незалежні.

Розв’язання:

За умовою задачі n=10,         m=2,                 p=0,8,          q=1-,8=0,2.

Отже,

[pic 17]

Приклад 4.3.

За умовами попередньої задачі знайти кількість студентів, для якої ймовірність отримати позитивну оцінку буде найбільшою. Знайти ймовірність цієї події.

Розв’язання:

За формулою         [pic 18]        знайдемо [pic 19]:

[pic 20]

Приклад 4.4.

Кидаємо гральний кубик 6 разів, де успіх –  випадіння цифри  6 на верхній грані кубика. Знайти кількість успіхів, що має найбільшу ймовірність. Знайти відповідну ймовірність.

Розв’язання:

Відповідно до класичного визначення ймовірності: p=1/6, q=5/6. Підставимо ці значення у вираз для [pic 21]: