Лекции по "Теории вероятности"
Автор: ROBIN6 • Май 3, 2024 • Курс лекций • 1,913 Слов (8 Страниц) • 61 Просмотры
1.Повторні незалежні випробування. Схема Бернуллі. Біноміальний розподіл. Найвірогідніше число успіхів та його ймовірність
Схема Бернуллі – це послідовність незалежних дослідів з постійною ймовірністю успіху в одному досліді. При цьому можливі тільки два результати (успіх або не успіх): орел або решітка, хлопчик або дівчина, позитивна відповідь на ВІЛ-тест або негативна.
Теореми про повторення дослідів
Нагадаємо, що досліди є незалежними, якщо ймовірність того чи іншого результату досліду не залежить від того, які результати мали інші досліди.
Незалежні досліди можуть проводитись як в однакових умовах, так і в різних. У першому випадку ймовірність появи деякої події А в усіх дослідах однакова, у другому випадку вона змінюється від досліду до досліду.
Часткова теорема Бернуллі
Якщо проводиться n незалежних дослідів в однакових умовах у кожному з яких ймовірність появи події A постійна і дорівнює p, де [pic 1] то ймовірність того, що подія A настане рівно m разів може бути обчислена за формулою Бернуллі:
[pic 2]
де [pic 3]
Ця формула виражає так званий біноміальний закон розподілу ймовірностей.
Ймовірність появи події А хоча б один раз у n проведених дослідах незалежних дослідах в однакових умовах визначається за формулою:
[pic 4],
де q – ймовірність не появи події А в одному досліді.
У ряді практичних задач потрібно визначити кількість успіхів, що має найбільшу ймовірність та ймовірність такої кількості успіхів. Кількість успіхів що має найбільшу ймовірність визначаємо так:
[pic 5]
При визначенні найімовірнішого числа можуть бути такі випадки:
а) величина [pic 6] число дробове; тоді існує лише одне найімовірніше число [pic 7];
б) [pic 8] - ціле число; тоді існує два найімовірніших числа [pic 9] і [pic 10]
в) [pic 11]- ціле число; тоді найімовірніше число [pic 12].
Приклад 4.1.
Ймовірність того, що яблуко, взяте навмання з ящика, буде стандартним дорівнює 0,8. Для перевірки взято 5 яблук. Визначити ймовірність того, що:
1) 3 яблука буде стандартних;
2) хоча б одне яблуко буде стандартне;
3) більше 3-ох будуть стандартними.
Розв’язання:
- за частковою теоремою Бернуллі:
[pic 13],
де [pic 14].
2) [pic 15] .
3) Подія В полягає в тому, що буде більше 3-ох яблук стандартних, тобто або 4 або 5. Події попарно несумісні, тому за теоремою ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей появи складових подій. Маємо:
[pic 16]
Приклад 4.2.
Знайти ймовірність того, що з 10 студентів екзамен на позитивну оцінку здадуть двоє, якщо ймовірність здати для кожного однакова – 0,8 і ймовірності результатів незалежні.
Розв’язання:
За умовою задачі n=10, m=2, p=0,8, q=1-,8=0,2.
Отже,
[pic 17]
Приклад 4.3.
За умовами попередньої задачі знайти кількість студентів, для якої ймовірність отримати позитивну оцінку буде найбільшою. Знайти ймовірність цієї події.
Розв’язання:
За формулою [pic 18] знайдемо [pic 19]:
[pic 20]
Приклад 4.4.
Кидаємо гральний кубик 6 разів, де успіх – випадіння цифри 6 на верхній грані кубика. Знайти кількість успіхів, що має найбільшу ймовірність. Знайти відповідну ймовірність.
Розв’язання:
Відповідно до класичного визначення ймовірності: p=1/6, q=5/6. Підставимо ці значення у вираз для [pic 21]:
...