Контрольная работа по "Теории вероятности"

Вариант № 17

1. В цехе работают 7 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Решение.

Всего в цехе работают 11 человек, из них: 7 мужчин и 4 женщины.

Необходимо найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины и 4 мужчины.

Общее число сочетаний из 11-ти человек по 7 равно:

[pic 1]

Число сочетаний из 4-ех женщин по 3 равно:

[pic 2]

Число сочетаний из 7-ми мужчин по 4 равно:

[pic 3]

Тогда, используя классическое определение вероятности, получаем вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины:

[pic 4]

Ответ: [pic 5].

2. На ярмарке 5 предпринимателей продают одну и ту же продукцию. Вероятность продать всю продукцию любым предпринимателем равна 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы один из них продаст всю продукцию.

Решение.

Пусть р - вероятность продать всю продукцию предпринимателем, q – вероятность продать не всю продукцию предпринимателем, тогда:

[pic 6]

Используя теорему умножения вероятностей независимых событий, получаем вероятность того, что ни один из предпринимателей не продаст всю продукцию:

[pic 7]

Тогда вероятность того, что хотя бы один из предпринимателей продаст всю продукцию, равна:

[pic 8]

Ответ: [pic 9].

3. Фирма совершает сделки, 80% из которых прибыльные, а 20% – неприбыльные. Вероятность банкротства фирмы за время t в случае, когда она заключает прибыльные сделки, равна 0,01, а в случае заключения не прибыльных сделок равна 0,7. Определить вероятность банкротства фирмы за время t.

Решение.

Пусть А -  событие банкротства фирмы за время t, [pic 10] - события, что фирма совершает, соответственно, прибыльные или неприбыльные сделки.

Согласно условия:

[pic 11]

Вероятность события А, с учетом того, что событие [pic 12] произошло:

[pic 13]

Вероятность события А, с учетом того, что событие [pic 14] произошло:

[pic 15]

Используя формулу полной вероятности, получаем вероятность банкротства фирмы за время t:

[pic 16]

Ответ: [pic 17].

4. В некотором цехе брак составляет 1,5% всех изделий. Составить закон распределения числа бракованных изделий из 4 наудачу взятых изделий. Найти функцию распределения,  математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Построить многоугольник распределения и график функции распределения.

Решение.

Опыт удовлетворяет схеме Бернулли.

Пусть успехом будет вероятность события, что изделие бракованное, тогда:

[pic 18]

Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4.

[pic 19]

[pic 20] где m – количество успехов.

[pic 21]

Следовательно, закон распределения вероятностей случайной величины Х:

Математическое ожидание:

[pic 22]

Дисперсия:

[pic 23]

Функции распределения:

[pic 24]

[pic 25]

Многоугольник распределения:

[pic 26]

5. Случайная величина X задана функцией распределения вероятностей