Задачи по "Финансовой математике"

Задача 1. Вексель номиналом 20000 рублей учтен в банке за 2 месяца (60 дней) до погашения. Определите сумму, полученную владельцем векселя, если ставка учетного процента равна 18% годовых.

Дано : N = 20000,  t = 60, d = 0,18

Найти : P’

Решение

Учетная цена векселя определяется по формуле :

P’ = N * 1- d*t360

где: N - номинал векселя;

d - ставка дисконта (учетная вексельная ставка);

t - число дней до его погашения [ 3, с. 82].

P’ = 20000 * 1- 0,18*60360 = 19400 рублей.

Ответ : сумма, полученная владельцем векселя равна 19400 рублей.

Задача 2. Покупатель приобретает в магазине товар по цене 120000 рублей. На всю сумму он берет кредит, который должен быть возвращен в течение 5 лет. Определите всю сумму долга, при условии, что ставка простого ссудного процента равна 22 % годовых.

Дано : P = 120000,  n = 5,  i = 0,22

Найти : S

Решение

Так как при простых процентах при коммерческом кредите проценты начисляются сразу на сумму кредита, то воспользуемся формулой наращенной суммы для простых процентов:

S - наращенная сумма,

P – первоначальная сумма

n - число лет

i - процентная ставка, выраженная десятичной дробью  [ 4, с. 109].

S = 120000 * (1 + 5 * 0,22) = 252000 руб.

Ответ : вся сумма долга равна 252000 руб.

Задача 3. Какой величины достигнет размер долга, равный 100000 руб., через 4 года, при росте по сложной процентной ставке 20% годовых?

Дано : P = 100000,  n = 4,  i = 0,20

Найти : S

Решение

При начислении сложных процентов наращенная сумма определяется по формуле :

S = P * (1 + i)n ,

где S – наращенная сумма;

P – первоначальная сумма;

i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте;

n – число лет.

S = 100000 * (1 + 0,20)4  = 207360 руб.  

Ответ : размер долга достигнет 207360 руб.  

Задача 4. Рассчитайте эффективные процентные ставки по депозитным договорам и определите наиболее выгодный процент для вкладчика:

а) годовой процент 20%, периодичность начисления один раз в полгода;

б) годовой процент 22%, периодичность начисления один раз в квартал;

в) годовой процент 18%, периодичность начисления один раз в год.

Дано : j1 = 0,20,  m1 = 2,  j2 = 0,22,  m2 = 4,  j3 = 0,18,  m3 = 1

Найти : iэф

Решение

Эффективная ставка отвечает на вопрос : какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом начислении процентов в году по ставке j/m.

Обозначим эффективную ставку через iэф. Равенство наращенных сумм будет обеспечено в том случае, если равны первоначальные суммы Р, периоды наращения n и множители наращения, т.е.

(1 + iэф)n = (1 + )

откуда эффективная ставка сложных процентов определяется формулой :

а) годовой процент 20%, периодичность начисления один раз в полгода;

iэф = (1 + )2 – 1 = 0,21 или 21,0%.

б) годовой процент 22%, периодичность начисления один раз в квартал;

iэф = (1 + )4 – 1 = 0,2388 или 23,88%.

в) годовой процент 18%, периодичность начисления один раз в год.

iэф = (1 + )1 – 1 = 0,18 или 18,0%.

Ответ : для вкладчика наиболее выгодный вариант б) годовой процент 22%, периодичность начисления один раз в квартал, т.к. при нем максимальная эффективная годовая ставка, равная 23,88%.

Задача 5. На счет в банке в течение 10 лет ежегодно (в начале каждого года) вносится сумма в размере 20000 руб., на которую в конце года 1 раз в год начисляются проценты по номинальной ставке 12 процентов годовых. Определить доход владельца счета за весь срок ренты (т.е. сумму начисленных процентов, которую банк должен выплатить владельцу счета по истечении срока вклада).