Практическая работа по "Высшей математике"

Вариант 3.

Задание

Дана система уравнений. Доказать ее совместность. Найти решение системы следующими способами: используя метод Гаусса, средства матричного исчисления, формулы Крамера.

[pic 1]

Решение.

1. Докажем совместность системы: составим основную и расширенные матрицы:

[pic 2]

Найдем ранги матриц:

• Умножаем первую строку на число (-1) и складываем со второй (и аналогично) с третьей строкой.
• Вторую строку складываем с третьей строкой
• Вторую строку делим на число (-4)

[pic 3]

Ранг матрицы A равен 2.

[pic 4]

Ранг расширенной матрицы также равен 2, следовательно, система совместна.

2. Решим систему методом Гаусса:

• Умножаем первую строку на число (-1) и складываем со второй (и аналогично) с третьей строкой.
• Вторую строку складываем с третьей строкой
• Вторую строку делим на число (-4)

[pic 5]

Последняя расширенная матрица эквивалентна системе:

[pic 6]

Находим решение, подставляя значение x4 в уравнение, получаем одно уравнение с тремя неизвестными x1, x2, x3:

[pic 7]

где x1, x2, x3 – любые действительные числа. Это и будет общим решением системы.

3. Матричный метод:

 [pic 8]

В исходном виде данную систему уравнений нельзя решить матричным методом, так как матрица является не квадратной, а прямоугольной. Попробую решить систему матричным методом, используя подстановку, заменяя повторяющиеся в каждом из уравнений (x1 – 2x2) на (y):

[pic 9]

Найдем определитель матрицы: