Методы и приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

 (МГОУ)

Физико-математический факультет

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики

преподавания математики

Курсовая работа

по дисциплине Дополнительные главы элементарной математики

тема: «Методы и приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром»

  Выполнил студент 21группы 2 курса _
Направление подготовки: Педагогическое образование
Профиль: Математика
Бауэр Александра Петровна

Научный руководитель:
Михличенко М.В.
Дата защиты: «    »  марта  2019 г.
Оценка: ___________________________
_______________________________
(подпись научного руководителя)

Регистрационный номер ________
Дата регистрации ______________

Мытищи 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Ι. Введение  3

ΙΙ. Некоторые приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром

1. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. 5
2. Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным. 7
3. Уравнения, решаемые разложением на множители. 11
4. Уравнения и неравенства, решаемые введением вспомогательного аргумента, понижением степени. 13
5. Уравнения, решаемые с применением формул двойного и тройного   аргументов. 16
6. Уравнения, решаемые с использованием ограниченности функций sinx и  cosx.  17
7. Некоторые дробно-рациональные уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции. 20

ΙΙΙ. Заключение 23

ΙV. Список используемых источников 23

Ι. ВВЕДЕНИЕ

     Задачи с параметром – одни из самых сложных задач, как школьного курса математики, так и задач, предлагаемых на ЕГЭ. В своей курсовой работе я рассматриваю различные типы тригонометрических уравнений и неравенств: от простейших до достаточно сложных. Предлагаю различные методы решения.

 Нужно отметить, что задачи с параметром – незаменимое средство для формирования логического мышления. Решение таких задач позволяет намного лучше понять стандартные задачи, не содержащие параметра.

Рассматриваемый в работе тип уравнений и неравенств содержит неизвестную величину под знаком тригонометрической функции. При помощи соответствующих преобразований всякое тригонометрическое уравнение сводится к одному или нескольким простейшим уравнениям. Поэтому необходимо научить обучающихся, прежде всего, решать именно простейшие уравнения и неравенства.

 Главный принцип - не терять корней. Одним из возможных методов отбора корней, отсеивания посторонних корней, является проверка. Заметим, что в отличие от алгебраических уравнений трудности, возникающие с отбором корней, с проверкой, резко возрастают, так как проверять приходится целые серии, состоящие из бесконечного числа членов, поэтому при решении лучше выполнять равносильные преобразования.

В своей работе я рассматриваю некоторые типы тригонометрических уравнений (неравенств) и методы их решения из следующей общепринятой классификации:

1. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
2. Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным.
3. Уравнения и неравенства, решаемые разложением на множители
4. Однородные и сводящиеся к ним уравнения.
5. Уравнения, решаемые введением вспомогательного аргумента. 
6. Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических функций в произведение.
7. Уравнения, решаемые преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
8. Уравнения, решаемые с применением формул понижения степени.
9. Уравнения, решаемые с применением формул двойного и тройного аргументов.
10. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
11.  Уравнения вида f( x ) = [pic 1] .
12.  Уравнения, решаемые с использованием ограниченности функций sinx и     cosx.

    Ещё совсем недавно, лет 15 – 20 назад, задачи с параметрами встречались на вступительных экзаменах в вузах с самым высоким уровнем математики. Сейчас это уже элемент единого государственного экзамена. Хотя на ЕГЭ встречается всего одна – две задачи с параметрами, но те школьники, которые хотят получить высший балл по ЕГЭ, должны уметь их решать.

   Кроме того, многие вузы проводят собственные олимпиады по математике, результаты которых учитываются при поступлении и которые также включают задачи с параметром.