Исследование методов решения алгебраических уравнений

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра Информационно-измерительной техники

Отчет по лабораторной работе №2

Тема: Исследование методов решения алгебраических уравнений

Выполнили: ст. гр. СЭМС-212

Ведешкин Д.А.

Проверил:  Муфаззалов Д. Ф.

Уфа 2018 г.

Оглавление

1        Цель        3

2        Постановка задачи        3

3        Описание методов решения уравнения.        3

3.1        Метод половинного деления        3

3.2 Метод хорд        4

3.3  Метод касательных        5

Выводы        8

1. Цель

Выявить метод, определяющий корень алгебраического уравнения с заданной точностью за меньшее количество итераций из трех предложенных:

1. Метод хорд

2. Метод касательных

3. Метод половинного деления

с помощью проведения расчетов в программе MATLAB.

1.         Постановка задачи

Определение корня алгебраического уравнения с заданной точностью в  двумя разными методами.

[pic 1]

1. Описание методов решения уравнения

1. Метод половинного деления

Метод основан на следствии из теоремы Больцано - Коши: если функция f(x) на концах отрезка от a до b имеет значения противоположных знаков, то на этом отрезке f(x)=0имеет корень. Разделим отрезок на два в его середине и продолжим поиск корня на том из них, на концах которого функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Как только длина исследуемого отрезка становится меньше заданной погрешности, любую точку этого отрезка можно считать искомым корнем.

         Код функции:

function [y,n,t]=f3(a,b,e)

tic

n=0;

f2(a,b,1)

hold on

while abs(a-b)>=e

    n=n+1;

    c=(a+b)/2;

    if f(a)*f(c)<0

        b=c;

    else a=c;

    end

end

y=(a+b)/2;

t=toc;

3.2 Метод хорд

Метод хорд основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения. Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность ε.

Под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс.

Код функций:

function [x,n]=f4(a,b,e)

x1=a;

x2=b;

f2(a,b,2)

n=0;

while abs(x2-x1)>=e

    x3=x2-(f(x2)*(x2-x1))/(f(x2)-f(x1));

    x1=x2;

    x2=x3;

    n=n+1;

    lin(x2,x1);

end

x=x3;

function lin(x2,x1)

line([x1,x2],[f(x1),f(x2)])

3.3  Метод касательных

В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику. Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла. Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения, пока не будет достигнута заданная точность ε.